Question

已知AB=2，BC=1的矩形ABCD，沿對角形BD將△BDC折起得到三棱錐C-ABD，且三棱錐的體積為，則異面直線BC與AD所成角的余弦值為________．

Answer 1

分析：求出棱錐的高等于直角三角形BCD的斜邊BD上的高，可得平面BCD⊥平面ABD，作CE⊥BD，AF⊥BD，利用兩個向量的數(shù)量積的定義求出的值，再根據(jù)又 =（ ）•（） 求出的值，從而得到
cos＜＞，即得BC與AD所成角的余弦值．
解答：設三棱錐C-ABD的高為h，則 （×2×1）h=，∴h=，
故 h是直角三角形BCD的斜邊BD上的高，故平面BCD⊥平面ABD．作CE⊥BD，AF⊥BD，則
CE⊥面ABD，AF⊥面 BCD． =1×1cos＜＞=cos＜＞．
又 =（ ）•（）=+++
=0+0++0=BC²-CE²=1-=，
∴cos＜＞=，故異面直線BC與AD所成角的余弦值為 ，
故答案為 ．
點評：本題考查異面直線所成的角的定義和求法，體現(xiàn)了轉化的數(shù)學的思想，求出cos＜＞是解題的關鍵．