Question

設(shè)a為實(shí)數(shù)，在復(fù)數(shù)集C中解方程：z²+2|z|=a．

Answer 1

【答案】分析：由于z²=a-2|z|為實(shí)數(shù)，故z為純虛數(shù)或?qū)崝?shù)，因而需分情況進(jìn)行討論．當(dāng)z是實(shí)數(shù)時(shí)，本題是一個(gè)關(guān)于z的一元二次方程組，解方程組即可；當(dāng)z是一個(gè)純虛數(shù)時(shí)，按照實(shí)數(shù)方程求解得到z的虛部，寫(xiě)出純虛數(shù)即可．
解答：解：設(shè)|z|=r．若a＜0，則z²=a-2|z|＜0，于是z為純虛數(shù)，從而r²=2r-a．
由于z²=a-2|z|為實(shí)數(shù)，故z為純虛數(shù)或?qū)崝?shù)，因而需分情況進(jìn)行討論．
解得r=（r=＜0，不合，舍去）．故z=±（）i．
若a≥0，對(duì)r作如下討論：
（1）若r≤a，則z²=a-2|z|≥0，于是z為實(shí)數(shù)．
解方程r²=a-2r，得r=（r=＜0，不合，舍去）．
故z=±（）．
（2）若r＞a，則z²=a-2|z|＜0，于是z為純虛數(shù)．
解方程r²=2r-a，得r=或r=（a≤1）．
故z=±（）i（a≤1）．
綜上所述，原方程的解的情況如下：
當(dāng)a＜0時(shí)，解為：z=±（）i；
當(dāng)0≤a≤1時(shí)，解為：z=±（），z=±（）i；
當(dāng)a＞1時(shí)，解為：z=±（）．
點(diǎn)評(píng)：本題還可以令z=x+yi（x、y∈R）代入原方程后，由復(fù)數(shù)相等的條件將復(fù)數(shù)方程化歸為關(guān)于x，y的實(shí)系數(shù)的二元方程組來(lái)求解．