Question

已知函數(shù)y=f（x）的圖象關(guān)于點(diǎn)（-1，0）對(duì)稱，且滿足f（x）=-f（x-1）．當(dāng)x∈（-2，-1）時(shí)，f(x)=

1

x+2

，則當(dāng)x∈（1，2）時(shí)，f（x）=

1

x-2

．

Answer 1

分析：首先，由f（x）=-f（x-1）證出：函數(shù)f（x）是周期為2的周期函數(shù)．再根據(jù)當(dāng)x∈（-2，-1）時(shí)函數(shù)的解析式，結(jié)合函數(shù)y=f（x）的圖象關(guān)于點(diǎn)（-1，0）對(duì)稱，求出當(dāng)-1＜x＜0時(shí)函數(shù)的解析式，最后由此解析式，結(jié)合函數(shù)的周期為2，可得當(dāng)x∈（1，2）時(shí)f（x）的解析式．

解答：解：∵f（x）=-f（x-1），
∴以x+1代替x，得f（x+1）=-f（x）
再結(jié)合f（x）=-f（x-1），可得f（x+1）=-[-f（x-1）]=f（x-1）
即f[（x-1）+2]=f（x-1），由此可得f（x+2）=f（x），函數(shù)是周期為2的周期函數(shù)
∵函數(shù)y=f（x）的圖象關(guān)于點(diǎn)（-1，0）對(duì)稱，
∴f（-2-x）+f（x）=0，可得f（x）=-f（-2-x）
設(shè)-1＜x＜0，得-2＜-2-x＜-1，則f（-2-x）=

1

(-2-x)+2

=-

1

x

，所以f（x）=-f（-2-x）=

1

x

再設(shè)x∈（1，2），則-1＜x-2＜0，f（x-2）=

1

x-2

最后，根據(jù)f（x）是周期為2的周期函數(shù)，可得f（x）=f（x-2）=

1

x-2

∴當(dāng)x∈（1，2）時(shí)，f（x）=

1

x-2

故答案為：

1

x-2

點(diǎn)評(píng)：本題以一個(gè)特殊的函數(shù)為例，考查了函數(shù)的周期性、圖象的對(duì)稱性和函數(shù)解析式求法等知識(shí)點(diǎn)，屬于中檔題．