已知函數(shù)，其中a為常數(shù)．
（Ⅰ）若f（x）在（0，1）上單調(diào)遞增，求實數(shù)a的取值范圍；
（Ⅱ）求證：D．
【答案】分析：（1）根據(jù)題意，由函數(shù)f（x）在（0，1）上單調(diào)遞增，可得f′（x）=2x-a+≥0在（0，1）上恒成立，進而轉(zhuǎn)化為2x+≥a在（0，1）上恒成立，令t=2x+，通過對t求導判斷單調(diào)性，可得t的最小值為1，由不等關系可得答案．
（2）由（1）的結(jié)論，分析可得f（x）＞f（0），化簡可得ln（x+1）＞x-x2，令x=，（n≥2），可得ln（+1）＞-，變形可得ln＞，所以=++…+＜ln+ln+…+ln，由對數(shù)的運算性質(zhì)，化簡可得證明．
解答：解：（1）根據(jù)題意，函數(shù)在（0，1）上單調(diào)遞增，
則f′（x）=2x-a+≥0在（0，1）上恒成立；
即2x+≥a在（0，1）上恒成立，
令t=2x+，則t′=1+（）′=1-，
又由x∈（0，1），則t′＞0，
則t在（0，1）是增函數(shù)，
故有2x+＞1，
所以求得a≤1，
（2）證明：由（1）可得，當a=1時，f（x）在（0，1）上遞增，
所以f（x）＞f（0），即ln（x+1）＞x-x2，
令x=，（n≥2）則∈（0，]⊆（0，1），
所以有l(wèi)n（+1）＞-，變形可得ln＞，
所以=++…+＜ln+ln+…+ln=ln；
即原不等式得證．
點評：本題考查不等式的證明與利用導數(shù)求函數(shù)的最值；（1）中注意x的范圍是（0，1），因（x+1）的范圍，不能將2x+轉(zhuǎn)化為2（x+1）+-2后，直接用基本不等式求其最小值．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=
1a-x
-1（其中a為常數(shù)，x≠a）．利用函數(shù)y=f（x）構造一個數(shù)列{xn}，方法如下：
對于給定的定義域中的x1，令x2=f（x1），x3=f（x2），…，xn=f（xn-1），…
在上述構造過程中，如果xi（i=1，2，3，…）在定義域中，那么構造數(shù)列的過程繼續(xù)下去；如果xi不在定義域中，那么構造數(shù)列的過程就停止．
（Ⅰ）當a=1且x1=-1時，求數(shù)列{xn}的通項公式；
（Ⅱ）如果可以用上述方法構造出一個常數(shù)列，求a的取值范圍；
（Ⅲ）是否存在實數(shù)a，使得取定義域中的任一實數(shù)值作為x1，都可用上述方法構造出一個無窮數(shù)列{xn}？若存在，求出a的值；若不存在，請說明理由．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)y=f（x）滿足f（a-tanθ）=cotθ-1，（其中，a、θ∈R均為常數(shù)）
（1）求函數(shù)y=f（x）的解析式；
（2）利用函數(shù)y=f（x）構造一個數(shù)列{xn}，方法如下：
對于給定的定義域中的x1，令x2=f（x1），x3=f（x2），…，xn=f（xn-1），…
在上述構造過程中，如果xi（i=1，2，3，…）在定義域中，構造數(shù)列的過程繼續(xù)下去；如果xi不在定義域中，則構造數(shù)列的過程停止．
①如果可以用上述方法構造出一個常數(shù)列{xn}，求a的取值范圍；
②如果取定義域中的任一值作為x1，都可以用上述方法構造出一個無窮數(shù)列{xn}，求a實數(shù)的值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（2006•石景山區(qū)一模）已知函數(shù)y=f（x）對于任意θ≠
kπ2
（k∈Z），都有式子f（a-tanθ）=cotθ-1成立（其中a為常數(shù)）．
（Ⅰ）求函數(shù)y=f（x）的解析式；
（Ⅱ）利用函數(shù)y=f（x）構造一個數(shù)列，方法如下：
對于給定的定義域中的x1，令x2=f（x1），x3=f（x2），…，xn=f（xn-1），…在上述構造過程中，如果xi（i=1，2，3，…）在定義域中，那么構造數(shù)列的過程繼續(xù)下去；如果xi不在定義域中，那么構造數(shù)列的過程就停止．
（ⅰ）如果可以用上述方法構造出一個常數(shù)列，求a的取值范圍；
（ⅱ）是否存在一個實數(shù)a，使得取定義域中的任一值作為x1，都可用上述方法構造出一個無窮數(shù)列{xn}？若存在，求出a的值；若不存在，請說明理由；
（ⅲ）當a=1時，若x1=-1，求數(shù)列{xn}的通項公式．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=loga（1+x），g（x）=loga（1+kx），其中a＞0且a≠1．
（Ⅰ）當k=-2時，求函數(shù)h（x）=f（x）+g（x）的定義域；
（Ⅱ）若函數(shù)H（x）=f（x）-g（x）是奇函數(shù)（不為常函數(shù)），求實數(shù)k的值．

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科目：高中數(shù)學 來源：2010年高考數(shù)學新題型解析選編（7）（解析版） 題型：解答題

已知函數(shù)y=f（x）滿足f（a-tanθ）=cotθ-1，（其中，a、θ∈R均為常數(shù)）
（1）求函數(shù)y=f（x）的解析式；
（2）利用函數(shù)y=f（x）構造一個數(shù)列{xn}，方法如下：
對于給定的定義域中的x1，令x2=f（x1），x3=f（x2），…，xn=f（xn-1），…
在上述構造過程中，如果xi（i=1，2，3，…）在定義域中，構造數(shù)列的過程繼續(xù)下去；如果xi不在定義域中，則構造數(shù)列的過程停止．
①如果可以用上述方法構造出一個常數(shù)列{xn}，求a的取值范圍；
②如果取定義域中的任一值作為x1，都可以用上述方法構造出一個無窮數(shù)列{xn}，求a實數(shù)的值．

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