Question

已知拋物線C：x²=2y的焦點為F．
（Ⅰ）設(shè)拋物線上任一點P（m，n）．求證：以P為切點與拋物線相切的方程是mx=y+n；
（Ⅱ）若過動點M（x₀，0）（x₀≠0）的直線l與拋物線C相切，試判斷直線MF與直線l的位置關(guān)系，并予以證明．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的關(guān)系,拋物線的簡單性質(zhì)

專題：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（Ⅰ）由x²=2y得y=

1

2

x²，則y′=x，由導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出以P為切點的切線的斜率，代入點斜式方程化簡，把點P（m，n）代入拋物線的方程，得到n與m的關(guān)系，再代入切線方程化簡即可；
（Ⅱ）判斷直線MF與直線l垂直，由切線l方程和題意求出M的坐標(biāo)，由斜率公式求出k_MF，根據(jù)斜率之積是-1，即可證明結(jié)論．

解答： 證明：（Ⅰ）由拋物線C：x²=2y得，y=

1

2

x²，則y′=x，
∴在點P（m，n）切線的斜率k=m，
∴切線方程是y-n=m（x-m），即y-n=mx-m²，
又點P（m，n）是拋物線上一點，
∴m²=2n，
∴切線方程是mx-2n=y-n，即mx=y+n  …（6分）
（Ⅱ）直線MF與直線l位置關(guān)系是垂直．
由（Ⅰ）得，設(shè)切點為P（m，n），則切線l方程為mx=y+n，
∴切線l的斜率k=m，點M（

n

m

，0），
又點F（0，

1

2

），
此時，k_MF=

1 2 -0

0- n m

=-

m

2n

=-

m

2× 1 2 m2

=-

1

m

 …（10分）
∴k•k_MF=m×（-

1

m

）=-1，
∴直線MF⊥直線l          …（12分）

點評：本題考查直線與拋物線的位置關(guān)系，導(dǎo)數(shù)的幾何意義，直線垂直的條件等，屬于中檔題．