Question

4．已知x=1，x=5是函數(shù)f（x）=cos（ωx+φ）（ω＞0）兩個相鄰的極值點(diǎn)，且f（x）在x=2處的導(dǎo)數(shù)f′（2）＜0，則f（0）=$\frac{\sqrt{2}}{2}$．

Answer 1

分析 根據(jù)已知可得函數(shù)f（x）的周期T=8，且在[1，5]上為減函數(shù)，進(jìn)而求出φ=$\frac{π}{4}$，可得答案．

解答 解：∵x=1，x=5是函數(shù)f（x）=cos（ωx+φ）（ω＞0）兩個相鄰的極值點(diǎn)，
∴$\frac{T}{2}$=5-1=4，
∴T=8，
∵ω＞0
∴ω=$\frac{π}{4}$，
∵f（x）在x=2處的導(dǎo)數(shù)f′（2）＜0，
∴函數(shù)f（x）在[1，5]上為減函數(shù)，
故$\frac{π}{4}$+φ=2kπ，k∈Z，φ=2kπ-$\frac{π}{4}$，k∈Z，
∴f（0）=cos$\frac{π}{4}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
故答案為：$\frac{\sqrt{2}}{2}$．

點(diǎn)評 本題考查的知識點(diǎn)是函數(shù)的圖象，函數(shù)的周期性，函數(shù)的單調(diào)性，函數(shù)求值，難度中檔．