給定整數(shù),證明:存在n個(gè)互不相同的正整數(shù)組成的集合S,使得對(duì)S的任意兩個(gè)不同的非空子集A,B,數(shù)
與
是互素的合數(shù).(這里與
分別表示有限數(shù)集
的所有元素之和及元素個(gè)數(shù).)
見解析
我們用表示有限數(shù)集X中元素的算術(shù)平均.
第一步,我們證明,正整數(shù)的n元集合具有下述性質(zhì):對(duì)
的任意兩個(gè)不同的非空子集A,B,有
.
證明:對(duì)任意,
,設(shè)正整數(shù)k滿足
, ①
并設(shè)l是使的最小正整數(shù).我們首先證明必有
.
事實(shí)上,設(shè)是A中最大的數(shù),則由
,易知A中至多有
個(gè)元素,即
,故
.又由
的定義知
,故由①知
.特別地有
.
此外,顯然,故由l的定義可知
.于是我們有
.
若,則
;否則有
,則
.
由于是A中最大元,故上式表明
.結(jié)合
即知
.
現(xiàn)在,若有的兩個(gè)不同的非空子集A,B,使得
,則由上述證明知
,故
,但這等式兩邊分別是A,B的元素和,利用
易知必須A=B,矛盾.
第二步,設(shè)K是一個(gè)固定的正整數(shù),,我們證明,對(duì)任何正整數(shù)x,正整數(shù)的n元集合
具有下述性質(zhì):對(duì)
的任意兩個(gè)不同的非空子集A,B,數(shù)
與
是兩個(gè)互素的整數(shù).
事實(shí)上,由的定義易知,有
的兩個(gè)子集
,滿足
,
,且
. ②
顯然及
都是整數(shù),故由上式知
與
都是正整數(shù).
現(xiàn)在設(shè)正整數(shù)d是與
的一個(gè)公約數(shù),則
是d的倍數(shù),
故由②可知,但由K的選取及
的構(gòu)作可知,
是小于K的非零整數(shù),故它是
的約數(shù),從而
.再結(jié)合
及②可知d=1,故
與
互素.
第三步,我們證明,可選擇正整數(shù)x,使得中的數(shù)都是合數(shù).由于素?cái)?shù)有無窮多個(gè),
故可選擇n個(gè)互不相同且均大于K的素?cái)?shù).將
中元素記為
,
則,且
(對(duì)
),
故由中國(guó)剩余定理可知,同余方程組
,
有正整數(shù)解.
任取這樣一個(gè)解x,則相應(yīng)的集合中每一項(xiàng)顯然都是合數(shù).結(jié)合第二步的結(jié)果,這一n元集合滿足問題的全部要求.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
x | m 0 |
,y | m 0 |
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
(1) 給定正整數(shù)n5,集合 An=
.是否存在一一映射
: An
An滿足條件:對(duì)一切k ( 1
k
n-1 ) , 都有k |
(1)+
(2) +……+
(k) ?
(2) N* 為全體正整數(shù)的集合,是否存在一一映射 : N*
N* 滿足條件:對(duì)一切k
N*, 都有k |
(1)+
(2) + ……+
(k) ?
證明你的結(jié)論 .
注: 映射 : A
B 稱為一一映射,如果對(duì)任意 b
B,有且只有一個(gè) a
A 使得
(a)=b . 題中“|”為整除符號(hào).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
給定整數(shù),證明:存在n個(gè)互不相同的正整數(shù)組成的集合S,使得對(duì)S的任意兩個(gè)不同的非空子集A,B,數(shù)
與
是互素的合數(shù).(這里與
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