Question

已知P（x，y）為函數y=lnx圖象上一點，O為坐標原點，記直線OP的斜率f（x）．
（Ⅰ）求f（x）的最大值；
（Ⅱ）令g（x）=x²-ax•f（x），試討論函數g（x）在區(qū)間（1，e^a）上零點的個數（e為自然對數的底數，e=2.71828…）．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）由題意知f（x）=，利用導數法判斷函數的單調性后，可得f（x）在（0，e）上遞增；f（x）在（e，+∞）上遞減；故f（x）的最大值為f（e）
（II）由區(qū)間的定義可得a＞0，且e^a-a＞0，求出函數g（x）的函數解析式，利用導數法分析其單調性后，分①當（1-ln）＞0，即0＜a＜2e時，
②當（1-ln）=0，即a=2e時，③當（1-ln）＜0，即a＞2e時，三種情況討論函數g（x）在區(qū)間（1，e^a）上零點的個數，最后綜合討論結果，可得答案．
解答：解：（Ⅰ）由題意知f（x）=，
∴f′（x）=
當x∈（0，e）時，f′（x）＞0，f（x）在（0，e）上遞增；
當x∈（e，+∞）時，f′（x）＜0，f（x）在（e，+∞）上遞減；
所以，f（x）的最大值為f（e）=．…（4分）
（Ⅱ）∵e^a＞1
∴a＞0，且e^a-a＞0
因為g（x）=x²-ax•f（x）=g（x）=x²-alnx，
所以g′（x）=2x-==．
當x∈（0，）時，g′（x）＜0，當x∈（，+∞）時，g′（x）＞0，
所以g（x）在（0，）上是減函數，在（，+∞）上是增函數．
所以，當x=時，g（x）取最小值g（）=（1-ln）        …（7分）
下面討論函數g（x）的零點情況．  
①當（1-ln）＞0，即0＜a＜2e時，
函數g（x）在（1，e^a）上無零點；
②當（1-ln）=0，即a=2e時，=，
又＜a＜e^a＜e^2a
∴＜e^a，則1＜＜e^a，
而g（1）=1＞0，g（）=0，g（e^a）＞0
∴g（x）在（1，e^a）上有一個零點；
③當（1-ln）＜0，即a＞2e時，e^a＞＞＞1，
由于g（1）=1＞0，g（）=（1-ln）＜0，
g（e^a）＞e^2a-alne^a=e^2a-a²=（e^a-a）（e^a+a）＞0，
所以，函數g（x）在（1，e^a）上有兩個零點．
綜上所述，g（x）在（1，e^a）上，有結論：
當0＜a＜2e時，函數g（x）無零點；
當a=2e 時，函數g（x）有一個零點；
當a＞2e時，函數g（x）有兩個零點．…（10分）
點評：本題考查的知識點是利用導數求閉區(qū)間上的最值，利用導數研究函數的極值，是導數問題比較綜合的應用，難度較大，特別是第（II）問中分類標準的確定，一定要引起足夠的重視．