Question

為了研究某種藥物，用小白鼠進(jìn)行試驗(yàn)，發(fā)現(xiàn)藥物在血液內(nèi)的濃度與時(shí)間的關(guān)系因使用方式的不同而不同．若使用注射方式給藥，則在注射后的3小時(shí)內(nèi)，藥物在白鼠血液內(nèi)的濃度y₁與時(shí)間t滿足關(guān)系式：，若使用口服方式給藥，則藥物在白鼠血液內(nèi)的濃度y₂與時(shí)間t滿足關(guān)系式：．現(xiàn)對小白鼠同時(shí)進(jìn)行注射和口服該種藥物，且注射藥物和口服藥物的吸收與代謝互不干擾．
（1）若a=1，求3小時(shí)內(nèi)，該小白鼠何時(shí)血液中藥物的濃度最高，并求出最大值
（2）若使小白鼠在用藥后3小時(shí)內(nèi)血液中的藥物濃度不低于4，求正數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）建立血液中藥物的濃度與時(shí)間t的函數(shù)關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵，要根據(jù)得出的函數(shù)關(guān)系式采取合適的辦法解決該濃度的最值問題；二次函數(shù)要注意對稱軸和區(qū)間的關(guān)系、對勾函數(shù)要注意基本不等式的運(yùn)用；
（2）分段求解關(guān)于實(shí)數(shù)a的范圍問題，注意函數(shù)值域思想的應(yīng)用．
解答：解：（1）藥物在白鼠血液內(nèi)的濃度y與時(shí)間t的關(guān)系為：當(dāng)a=1時(shí)，
y=y₁+y₂=；
①當(dāng)0＜t＜1時(shí)，y=-t++4=-（-）²+，所以y_max=f（）=；
②當(dāng)1≤t≤3時(shí)，∵，所以y_{max^{=7-2（當(dāng)t=時(shí)取到），因?yàn)?/sub>，故ymax=f（）=．
（2）由題意y=
①⇒⇒}，又0＜t＜1，得出a≤1；
②}⇒⇒由于1≤t≤3得到，令，則，
所以，綜上得到以0＜．
點(diǎn)評：本題考查學(xué)生的函數(shù)思想，考查學(xué)生分段函數(shù)的基本思路，用好分類討論思想，注意二次函數(shù)最值問題，基本不等式在求解該題中作用．恒成立問題的處理方法．用好分離變量法．