Question

已知：四邊形ABCD是空間四邊形，E，H分別是邊AB，AD的中點(diǎn)，F(xiàn)，G分別是邊CB，CD上的點(diǎn)，且

CF

CB

=

CG

CD

=

2

3

．
求證：（1）四邊形EFGH是梯形；
（2）FE和GH的交點(diǎn)在直線AC上．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)已知中四邊形ABCD是空間四邊形，E，H分別是邊AB，AD的中點(diǎn)，F(xiàn)，G分別是邊CB，CD上的點(diǎn)，由平行線分線段成比例定理，我們易證明出EH∥FG，但EH≠FG，故四邊形EFGH是梯形；
（2）由（1）的結(jié)論，我們易得EFGH四點(diǎn)共面，而且EF與FG相交，結(jié)合公理3我們易證明出FE和GH的交點(diǎn)在直線AC上．

解答：證明：已知如下圖所示：
（1）連接BD，
∵E，H分別是邊AB，AD的中點(diǎn)，∴EH∥BD
又∵

CF

CB

=

CG

CD

=

2

3

，∴FG∥BD
因此EH∥FG且EH≠FG
故四邊形EFGH是梯形；（6分）
（2）由（1）知EF，HG相交，設(shè)EF∩HG=K
∵K∈EF，EF?平面ABC，
∴k∈平面ABC
同理K∈平面ACD，
又平面平面ABC∩平面ACD=AC
∴K∈AC
故FE和GH的交點(diǎn)在直線AC上．（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是平行線等分線段定理，及三線共點(diǎn)問題，其中利用平行線等分線段定理求出四邊形EFGH的形狀是解答本題的關(guān)鍵．