Question

設(shè)函數(shù)，函數(shù)（其中，e是自然對數(shù)的底數(shù)）．

（Ⅰ）當(dāng)時，求函數(shù)的極值；

（Ⅱ）若在上恒成立，求實數(shù)a的取值范圍；

（Ⅲ）設(shè)，求證：（其中e是自然對數(shù)的底數(shù)）．

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ），函數(shù)，，當(dāng)時，；當(dāng)時，，故該函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減．∴函數(shù)在處取得極大值．   4分

（Ⅱ）由題在上恒成立，∵，，∴，

若，則，若，則恒成立，則．

不等式恒成立等價于在上恒成立，··· 6分

令，則，

又令，則，∵，．

①當(dāng)時，，則在上單調(diào)遞減，∴，

∴在上單減，∴，即在上恒成立；·· 7分

②當(dāng)時，．

�。┤�，即時，，則在上單調(diào)遞減，∴，∴在上單調(diào)遞減，∴，此時在上恒成立；······· 8分

ⅱ）若，即時，若時，，則在上單調(diào)遞增，∴，∴在上也單調(diào)遞增，

∴，即，不滿足條件．··············· 9分

綜上，不等式在上恒成立時，實數(shù)a的取值范圍是．··· 10分

（Ⅲ）由（Ⅱ）知，當(dāng)時，則，

當(dāng)時，，令，則，

∴，∴，∴，··· 12分

又由（Ⅰ）得，即，當(dāng)x＞0時，，∴，

，

綜上得，即

【解析】略