Question

求證△ABC的三條高線交于一點.

Answer 1

思路分析1：假設兩條高線交于一點，證明另一條高線也經過此點.

證法1：如上圖，已知AD、BE、CF是△ABC的三條高.

設BE、CF交于H，且令=b，=c，=h，可得=h-b，=h-c,=c-b.

∵⊥,⊥,

∴(h-b)·c=0,(h-c)·b=0.

∴(h-b)·c=(h-c)·b.

運算并化簡得,h·(c-b)=0.

∴⊥.

∴AH與AD重合.

∴AD、BE、CF相交于一點H.

思路分析2：在△ABC中任取一點P，設PA⊥BC，PB⊥AC,證明PC⊥AB即可.

證法2：如上圖，設P為△ABC內一點，令=a，=b，=c.

則=b-a，=c-b,=a-c.

當PA⊥BC，PB⊥時，有a·（c-b）=0,b·（a-c）=0.

也就是a·c-a·b=0.                                                               ①

b·a-b·c=0.                                                                     ②

①+②得a·c-b ·c=0,

∴(a-b)·c=0.

∴⊥.