Question

如圖，ABCD是正方形，DE⊥平面ABCD，AF∥DE，DE=DA=3AF．
（Ⅰ） 求證：AC⊥BE；
（Ⅱ） 求二面角F-BE-D的余弦值；
（Ⅲ）設點M是線段BD上一個動點，試確定點M的位置，使得AM∥平面BEF，證明你的結論．

Answer 1

解：（Ⅰ）∵DE⊥平面ABCD，AC?平面ABCD，∴DE⊥AC．
∵四邊形ABCD是正方形，∴AC⊥BD，
又∵BD、DE是平面BDE內的相交直線，
∴AC⊥平面BDE，結合BE?平面BDE，得AC⊥BE；…（4分）
（II）因為直線BD、BC、BE兩兩垂直，所以分別以DADCDE為x軸、y軸、z軸，建立如圖所求空間直角坐標系
設AD=3，則可得DE=3，AF=1
因此，D（0，0，0），A（3，0，0），B（3，3，0），C（0，0），E（0，0，3），F（3，0，1）
∴=（0，-3，1），=（3，0，-2）…（5分）
設平面BEF的法向量為=（x，y，z），得，
令z=3，得x=2且y=1，可得=（2，1，3），…（7分）
∵AC⊥平面BDE，得=（-3，3，0）是平面BDE的一個法向量
∴二面角F-BE-D的大小即為向量、所成角的大�。ɑ蚱溲a角）
∵cos===-
∴結合圖形加以觀察，
可得二面角F-BE-D的余弦值為|cos|=；…（10分）
（Ⅲ）點M是線段BD上一個動點，
根據（II）的結論，設M（t，t，0）（）．
則=（t-3，t，0）．
∵AM∥平面BEF，∴•=0，即2（t-3）+t=0，解之得t=2．…（12分）
此時，點M坐標為（2，2，0），
即當BM=BD時，AM∥平面BEF．…（14分）
分析：（I）在正方形ABCD中，可得AC⊥BD．根據DE⊥平面ABCD，得DE⊥AC，由線面垂直的判定定理可得AC⊥平面BDE，從而可得AC⊥BE；
（II）分別以DADCDE為x軸、y軸、z軸，建立如圖所求空間直角坐標系．設AD=3，則可得DE=3，AF=1，可得D、A、B、C、E和F各點的坐標，進而得到向量、的坐標，再利用垂直向量數量積為零建立方程組，解出平面BEF的一個法向量為=（2，1，3），而=（-3，3，0）是平面BDE的一個法向量，根據空間向量的夾角公式算出、所成的角余弦值，即可得到二面角F-BE-D的余弦值；
（III）設M（t，t，0）（）．可得關于t的坐標形式，根據AM∥平面BEF，得⊥=0，由數量積為零建立關于t的方程，解之得t=1，從而得到當BM=BD時，AM∥平面BEF．
點評：本題給出四棱錐的一條側棱與底面垂直且底面是正方形，求證線面垂直并求二面角的余弦值大小，著重考查了線面垂直、平行的判定與性質和利用空間向量研究平面與平面所成角的求法等知識，屬于中檔題．