Question

(理)如圖(1)，正△ABC的邊長(zhǎng)為2a,CD是AB邊上的高，E、F分別是AC、BC邊的中點(diǎn).現(xiàn)將△ABC沿CD翻折成直二面角A-DC-B〔如圖(2)〕.

(1)試判斷翻折后直線AB與平面DEF的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由；

(2)求二面角B-AC-D的余弦值.

(文)如圖，在三棱錐P—ABC中，E、F、G、H分別是AB、AC、PC、BC的中點(diǎn)，且PA=PB，AC=BC.

(1)證明AB⊥PC；

(2)證明PE∥平面FGH.

Answer 1

(理)解：(1)∵在題圖(2)中，E、F分別為AC、BC的中點(diǎn)，∴AB∥EF.         

而AB面DEF，EF面DEF，∴AB∥面DEF.                                  

(2)在題圖(2)中，作DG⊥AC，垂足為G，連結(jié)BG.

易證△BDG為直角三角形,∠BGD為二面角B-AC-D的平面角.                 

在△BDG中，BD=a,DG=，

∴BG=a.∴cos∠BGD=.

(也可用向量法解)                                                         

(文)證明：(1)連結(jié)EC,∵△ABC為等腰三角形,

∴EC⊥AB.                                                                

又∵PA=PB,∴AB⊥PE.                                                     

∴AB⊥面PEC，PC面PEC.

∴AB⊥PC.                                                              

(2)連結(jié)FH，交EC于R.連結(jié)GR.

在△PEC中，GR∥PE.                                                     

∵PE面FHG，GR面FHG，

∴PE∥面FHG.