Question

已知橢圓W：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的短軸長為2

2

，且斜率為

3

的直線l₁過橢圓W的焦點(diǎn)及點(diǎn)（0，-2

3

）．
（Ⅰ）求橢圓W的方程；
（Ⅱ）已知直線l₂過橢圓W的左焦點(diǎn)F，交橢圓于點(diǎn)P、Q．
（ⅰ）若滿足

OP

•

OQ

•tan∠POQ=4（O為坐標(biāo)原點(diǎn)），求△POQ的面積；
（ⅱ）若直線l₂與兩坐標(biāo)軸都不垂直，點(diǎn)M在x軸上，且使MF為∠PMQ的一條角平分線，則稱點(diǎn)M為橢圓W的“特征點(diǎn)”，求橢圓W的特征點(diǎn)．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：（Ⅰ）直線l的方程為y=

3

x-2

3

，由此求出c=2，又橢圓W的短軸長為2

2

，由此能求出橢圓W的方程．（Ⅱ）（�。┯�

OP

•

OQ

•tan∠POQ=4，得|

OP

|•|

OQ

|•sin∠POQ=4，由此能求出△POQ的面積．（ⅱ）設(shè)特征點(diǎn)M（m，0），左焦點(diǎn)為F（-2，0），設(shè)直線PQ的方程為x=

y

k

-2，由

x= y k -2 x2 6 + y2 2 =1

，得(

1

k2

+3)y2-

4y

k

-2=0，由此利用韋達(dá)定理結(jié)合已知條件能求出橢圓C的特征點(diǎn)．

解答： 解：（Ⅰ）由題意可知，直線l的方程為y=

3

x-2

3

，…（1分）
∵直線l過橢圓W的焦點(diǎn)，∴該焦點(diǎn)坐標(biāo)為（2，0）∴c=2…（2分）
又橢圓W的短軸長為2

2

，∴b=

2

，
∴a²=b²+c²=4+2=6…（3分）
∴橢圓W的方程為

x2

6

+

y2

2

=1．…（4分）
（Ⅱ）（�。�∵

OP

•

OQ

•tan∠POQ=4
∴|

OP

|•|

OQ

|•cos∠POQ•tan∠POQ=|

OP

|•|

OQ

|•sin∠POQ=4，…（6分）
∴S△POQ=

1

2

•|

OP

|•|

OQ

|•sin∠POQ=

1

2

×4=2．…（8分）
（ⅱ）設(shè)特征點(diǎn)M（m，0），左焦點(diǎn)為F（-2，0），
設(shè)直線PQ的方程為x=

y

k

-2，
由

x= y k -2 x2 6 + y2 2 =1

，消去x得(

1

k2

+3)y2-

4y

k

-2=0
設(shè)P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），
則y1+y2=-

4k

3k2+1

，y1•y2=

-2k2

3k2+1

…（10分）
∵M(jìn)F為∠PMQ的一條角平分線，
∴k_PM+k_QM=0，即

y1

x1-m

+

y2

x2-m

=0…（12分）
又x1=

y1

k

-2，x2=

y2

k

-2，
代入上式可得

2

k

y1y2-2(y1+y2)-m(y1+y2)=0
∴

2

k

(

-2k2

1+3k2

)-(2+m)(

4k

1+3k2

)=0，解得m=-3
∴橢圓C的特征點(diǎn)為M（-3，0）．…（14分）

點(diǎn)評：本題考查橢圓方程的求法，考查三角形面積的求法，考查橢圓的特征點(diǎn)的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意函數(shù)與方程思想的合理運(yùn)用．