Question

5．已知扇環(huán)如圖所示，∠AOB=120°，OA=2，OA′=$\frac{1}{2}$，P是扇環(huán)邊界上一動點，且滿足$\overrightarrow{OP}$=x$\overrightarrow{OA}$+y$\overrightarrow{OB}$，則2x+y的取值范圍為[$\frac{1}{4}$，$\frac{2\sqrt{21}}{3}$]．

Answer 1

分析 記$\overrightarrow{OA}$，$\overrightarrow{OP}$的夾角為θ，$θ∈[0，\frac{2π}{3}]$．設(shè)$\overrightarrow{OA}$為直角坐標(biāo)系的x軸．
$\overrightarrow{OP}$=（rcosθ，rsinθ）（$\frac{1}{2}$≤r≤2），$\overrightarrow{OA}$=（2，0），$\overrightarrow{OB}$=（-1，$\sqrt{3}$），
代入$\overrightarrow{OP}$=x$\overrightarrow{OA}$+y$\overrightarrow{OB}$，得有（rcosθ，rsinθ）=（2x，0）+（-y，$\sqrt{3}$y），
⇒rcosθ=2x-y，rsinθ=$\sqrt{3}$y，故2x+y=rcosθ+$\frac{2r}{\sqrt{3}}sinθ$=r（$\frac{2}{\sqrt{3}}sinθ+cosθ$），運用三角函數(shù)的知識求解．

解答 解：記$\overrightarrow{OA}$，$\overrightarrow{OP}$的夾角為θ，$θ∈[0，\frac{2π}{3}]$．設(shè)$\overrightarrow{OA}$為直角坐標(biāo)系的x軸．
$\overrightarrow{OP}$=（rcosθ，rsinθ）（$\frac{1}{2}$≤r≤2），$\overrightarrow{OA}$=（2，0），$\overrightarrow{OB}$=（-1，$\sqrt{3}$），
代入$\overrightarrow{OP}$=x$\overrightarrow{OA}$+y$\overrightarrow{OB}$，得有（rcosθ，rsinθ）=（2x，0）+（-y，$\sqrt{3}$y），
⇒rcosθ=2x-y，rsinθ=$\sqrt{3}$y，
故2x+y=rcosθ+$\frac{2r}{\sqrt{3}}sinθ$=r（$\frac{2}{\sqrt{3}}sinθ+cosθ$）
$\frac{2}{\sqrt{3}}sinθ+cosθ$=$\frac{\sqrt{21}}{3}（sinθ×\frac{2}{\sqrt{7}}+cosθ×\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{7}}）$=$\frac{\sqrt{21}}{3}sin（θ+β）$，其中cosβ=$\frac{2}{\sqrt{7}}$，sin$β=\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{7}}$．
又∵$θ∈[0，\frac{2π}{3}]$．$\frac{\sqrt{21}}{3}sin（θ+β）$可以取到最大值$\frac{\sqrt{21}}{3}$，
當(dāng)θ=0時．$\frac{2}{\sqrt{3}}sinθ+cosθ$=1，當(dāng)θ=120⁰時．$\frac{2}{\sqrt{3}}sinθ+cosθ$=$\frac{1}{2}$．
∴$\frac{2}{\sqrt{3}}sinθ+cosθ$∈[$\frac{1}{2}$，$\frac{\sqrt{21}}{3}$]，
$\frac{1}{2}r$≤2x+y$≤\frac{\sqrt{21}}{3}r$．∵$\frac{1}{2}$≤r≤2，∴$\frac{1}{4}$≤2x+y≤$\frac{2\sqrt{21}}{3}$
故答案為：[$\frac{1}{4}$，$\frac{2\sqrt{21}}{3}$]

點評 本題考查了向量的基本定義即三角恒等變形、函數(shù)性質(zhì)，屬于壓軸題．