Question

已知中心在原點(diǎn)的橢圓C的兩個(gè)焦點(diǎn)和橢圓C₁：4x²＋9y²＝36的兩個(gè)焦點(diǎn)是一個(gè)正方形的四個(gè)頂點(diǎn)，且橢圓C經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(2，－3)．

(1)求橢圓C的方程；

(2)若PQ是橢圓C的弦，O是坐標(biāo)原點(diǎn)，OP⊥OQ且點(diǎn)P的坐標(biāo)為()，求點(diǎn)Q的坐標(biāo)．

Answer 1

答案：
解析：

　　解：(1)由已知C₁：＝1得焦點(diǎn)₁(，0)，₂(，0)，又橢圓C與C₁的焦點(diǎn)F₁，F(xiàn)₂，，是一個(gè)正方形的四個(gè)頂點(diǎn)，橢圓的中心在原點(diǎn)．∴F₁，F(xiàn)₂關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，∴F₁(0，)，故設(shè)C：＝1(a＞b＞0)，

　　∵橢圓C過(guò)點(diǎn)A(2，－3)，∴＝1且a²－b²＝5，解出a²＝15，b²＝10，∴橢圓C的方程為：＝1．

　　(2)設(shè)Q(x₀，y₀)，則由OP⊥OQ得k_OP·k_OQ＝·＝－1，即y₀＝，又＝1，∴＝30，x₀＝±3．

　　∴點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(3，)或(－3，)．

　　分析：本題要求能夠?qū)㈩}目中的對(duì)形的描述恰當(dāng)?shù)乩�用相關(guān)的性質(zhì)轉(zhuǎn)化為數(shù)，從而將問(wèn)題求解，涉及有關(guān)直線與橢圓的交點(diǎn)問(wèn)題，往往聯(lián)立它們的方程消去其中一個(gè)未知數(shù)，從而利用根與系數(shù)間的關(guān)系將問(wèn)題解決．