Question

設(shè)函數(shù)f（x）=x²-（a-2）x-alnx．
（1）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）若函數(shù)有兩個零點(diǎn)，求滿足條件的最小正整數(shù)a的值；
（3）若方程f（x）=c有兩個不相等的實(shí)數(shù)根x₁，x₂，求證：．

Answer 1

解：（1）x∈（0，+∞）．
==．
當(dāng)a≤0時，f^′（x）＞0，函數(shù)f（x）在（0，+∞0上單調(diào)遞增，即f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（0，+∞）．
當(dāng)a＞0時，由f^′（x）＞0得；由f^′（x）＜0，解得．
所以函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為．
（2）由（1）可得，若函數(shù)f（x）有兩個零點(diǎn)，則a＞0，且f（x）的最小值，即．
∵a＞0，∴．
令h（a）=a+-4，可知h（a）在（0，+∞）上為增函數(shù)，且h（2）=-2，h（3）==，
所以存在零點(diǎn)h（a₀）=0，a₀∈（2，3），
當(dāng)a＞a₀時，h（a）＞0；當(dāng)0＜a＜a₀時，h（a）＜0．
所以滿足條件的最小正整數(shù)a=3．
又當(dāng)a=3時，f（3）=3（2-ln3）＞0，f（1）=0，∴a=3時，f（x）由兩個零點(diǎn)．
綜上所述，滿足條件的最小正整數(shù)a的值為3．
（3）∵x₁，x₂是方程f（x）=c得兩個不等實(shí)數(shù)根，由（1）可知：a＞0．
不妨設(shè)0＜x₁＜x₂．則，．
兩式相減得+alnx₂=0，
化為a=．
∵，當(dāng)時，f^′（x）＜0，當(dāng)時，f^′（x）＞0．
故只要證明即可，
即證明x₁+x₂＞，即證明，
設(shè)，令g（t）=lnt-，則=．
∵1＞t＞0，∴g^′（t）＞0
．∴g（t）在（0，1）上是增函數(shù)，又在t=1處連續(xù)且g（1）=0，
∴當(dāng)t∈（0，1）時，g（t）＜0縱成立．故命題得證．
分析：（1）對a分類討論，利用導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系即可得出；
（2）由（1）可得，若函數(shù)f（x）有兩個零點(diǎn)，則a＞0，且f（x）的最小值，即．可化為h（a）=．利用單調(diào)性判斷其零點(diǎn)所處的最小區(qū)間即可得出；
（3））由x₁，x₂是方程f（x）=c得兩個不等實(shí)數(shù)根，由（1）可知：a＞0．不妨設(shè)0＜x₁＜x₂．則，．
兩式相減得+alnx₂=0，化為a=．由，當(dāng)時，f^′（x）＜0，當(dāng)時，f^′（x）＞0．故只要證明即可，即證明，令換元，再利用導(dǎo)數(shù)即可證明．
點(diǎn)評：本題綜合考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、極值與最值等基礎(chǔ)知識，及其分類討論思想方法、等價轉(zhuǎn)化方法、換元法等基本技能與方法．