Question

某企業(yè)為更好地了解設(shè)備改造前后與生產(chǎn)合格品的關(guān)系，隨機(jī)抽取了100件產(chǎn)品進(jìn)行分析，但由于工作人員不小心，丟失了部分?jǐn)?shù)據(jù)：
設(shè)備改造效果分析列聯(lián)表

工作人員從設(shè)備改造前生產(chǎn)的產(chǎn)品中抽取兩件，合格品數(shù)為ξ，從設(shè)備改造后生產(chǎn)的產(chǎn)品中抽取兩件，合格品數(shù)為η，經(jīng)計(jì)算得：P(ξ=0)=

38

9

P(η=0)．
（1）填寫列聯(lián)表中缺少的數(shù)據(jù)；
（2）求出ξ與η的數(shù)學(xué)期望，并比較大小，請(qǐng)解釋你所得出結(jié)論的實(shí)際意義；
（3）能夠以97.5%的把握認(rèn)為設(shè)備改造有效嗎？
參考數(shù)據(jù)：

Answer 1

分析：（1）工作人員從設(shè)備改造前生產(chǎn)的產(chǎn)品中抽取兩件，合格品數(shù)為ξ，從設(shè)備改造后生產(chǎn)的產(chǎn)品中抽取兩件，合格品數(shù)為η，根據(jù)所給的兩個(gè)變量取0時(shí)概率之間的關(guān)系，寫出關(guān)于x的方程，解方程即可，在再根據(jù)列聯(lián)表中數(shù)據(jù)的關(guān)系，得到結(jié)果．
（2）根據(jù)題意看出兩個(gè)變量可能取值，ξ可能取值是0，1，2，η的可能取值是0，1，2，結(jié)合變量對(duì)應(yīng)的事件寫出兩組變量的分布列，算出期望，比較兩個(gè)期望值的大小，得到結(jié)論．
（3）根據(jù)列聯(lián)表所給的數(shù)據(jù)，代入求觀測(cè)值的公式，做出觀測(cè)值是4.76，同臨界值進(jìn)行比較，4.76＜5.024，得到不能以97.5%的把握認(rèn)為設(shè)備改造有效．

解答：解：（1）工作人員從設(shè)備改造前生產(chǎn)的產(chǎn)品中抽取兩件，合格品數(shù)為ξ，
從設(shè)備改造后生產(chǎn)的產(chǎn)品中抽取兩件，合格品數(shù)為η
∵P(ξ=0)=

38

9

P(η=0)．
∴

C 2 20

C 2 50

=

38

9

C 2 x

C 2 50

，
∴x=10，y=50-10=40，M=20+10=30，N=30+40=70．
（2）由題意知ξ可能取值是0，1，2
P（ξ=0）=

38

245

，
P（ξ=1）=

120

245

，
P（ξ=2）=

87

245

∴ξD的分布列是

∴E(ξ)=0×

38

245

+1×

38

245

+2×

87

245

=

294

245

由題意知η的可能取值是0，1，2
P（η=0）=

9

245

，
P（η=1）=

80

245

，
P（η=2）=

156

245

∴η的分布列是

∴E(η)=0×

9

245

+1×

80

245

+2×

156

245

=

392

245

∵E（ξ）＜E（η），
∴設(shè)備改造是有效的．
（3）k=

100(20×40-10×30)2

30×70×50×50

=4.76＜5.024，
∴不能以97.5%的把握認(rèn)為設(shè)備改造有效．

點(diǎn)評(píng)：本題考查離散型隨機(jī)變量的分布列和期望，考查獨(dú)立性檢驗(yàn)，是一個(gè)統(tǒng)計(jì)和概率的綜合題，本題難易可以作為一個(gè)高考題目．