Question

設(shè)函數(shù)f(x)=

x2

2

-ax+

a2-1

2

，a∈R．
（Ⅰ）若?x∈[

2

，2]，關(guān)于x的不等式f(x)≥

a2-4

2

恒成立，試求a的取值范圍；
（Ⅱ）若函數(shù)f（x）在區(qū)間[0，4]上恰有一個(gè)零點(diǎn)，試求a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）用參數(shù)分離法，轉(zhuǎn)化為求最值問題即可解題
（2）討論對稱軸與區(qū)間中點(diǎn)的位置關(guān)系，根據(jù)根的分布情況，列出不等式組，解不等式組即可

解答：解：（1）依題得：?x∈[

2

，2]，不等式x²+3≥2ax恒成立，則a≤

x

2

+

3

2x

設(shè)g(x)=

x

2

+

3

2x

，則a≤g（x）_min即可
又g(x)=

x

2

+

3

2x

≥2

x 2 • 3 2x

=

3

，當(dāng)且僅當(dāng)x=

3

時(shí)，g(x)min=g(

3

)=

3

．
∴a的取值范圍是(-∞，

3

]
（2）二次函數(shù)f（x）的圖象開口向上，對稱軸是直線x=a
依題意得：
①當(dāng)a=2時(shí)，令f（x）=0，得x=1，x=3
∴在[

2

，2]上f（x）有兩個(gè)零點(diǎn)，不合題意
②當(dāng)a＜2時(shí)，要使函數(shù)f（x）在區(qū)間[0，4]上恰有一個(gè)零點(diǎn)，只需滿足

f(0)＜0 f(4)≥0

即

a2-1＜0 a2-8a+15≥0

解得-1＜a＜1
當(dāng)a=-1時(shí)滿足題意，a=1時(shí)不滿足題意，則-1≤a＜1
③當(dāng)a＞2時(shí)，要使函數(shù)f（x）在區(qū)間[0，4]上恰有一個(gè)零點(diǎn)，只需滿足

f(0)≥0 f(4)＜0

即

a2-1≥0 a2-8a+15＜0

解得3＜a＜5
當(dāng)a=5時(shí)滿足題意，a=3時(shí)不滿足題意，則3＜a≤5
∴a的取值范圍是[-1，1）∪（3，5]

點(diǎn)評：本題考查函數(shù)恒成立問題和函數(shù)的零點(diǎn)問題．恒成立問題常用參數(shù)分離法，零點(diǎn)問題常用數(shù)形結(jié)合思想，注意分類討論．屬中檔題