Question

已知函數(shù)f（x）=2mx²-2（4-m）x+1，g（x）=mx
（1）函數(shù)f（x）在x∈[-1，+∞）上單調(diào)遞減，求m的范圍；
（2）若對(duì)于任一實(shí)數(shù)x，f（x）與g（x）至少有一個(gè)為正數(shù)，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

專題：綜合題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）m=0時(shí)易判斷；m≠0時(shí)由二次函數(shù)的圖象可得對(duì)稱軸與區(qū)間的位置關(guān)系，從而得到不等式；
（2）由圖象可判斷m≤0時(shí)不合題意；當(dāng)m＞0時(shí)，x＞0，g（x）＞0成立，只需x≤0時(shí)，f（x）＞0即可，分對(duì)稱軸在y軸右側(cè)、左側(cè)兩種情況討論，借助圖象可得不等式；

解答： 解：（1）當(dāng)m=0時(shí)，y=-8x+1，符合題意；
m≠0時(shí)，

m＜0 2(4-m) 4m ≤-1

，解得-4≤m＜0；
綜上所述，-4≤m≤0．
（2）當(dāng)m≤0時(shí)，由函數(shù)圖象可知，不符合題意；
當(dāng)m＞0時(shí)，當(dāng)x＞0，g（x）＞0成立，
∴只需x≤0時(shí)，f（x）＞0即可，
若

2(4-m) 4m ≥0 f(0)＞0

，符合題意，解得0＜m≤4；
若

2(4-m) 4m ＜0 △＜0

，符合題意，解得4＜m＜8；
綜上所述，0＜m＜8．

點(diǎn)評(píng)：該題考查一次函數(shù)、二次函數(shù)的單調(diào)性，考查不等式的求解，考查分類討論思想．