Question

7．已知三次函數(shù)f（x）=2ax³+6ax²+bx的導函數(shù)為f′（x），則函數(shù)f（x）與f′（x）的圖象可能是（　　）

• A．
• B．
• C．
• D．

Answer 1

分析 求函數(shù)的導數(shù)，結合一元二次函數(shù)的圖象以及三次函數(shù)的極值關系分別進行判斷即可．

解答 解：函數(shù)的導數(shù)f′（x）=6ax²+12ax+b，對稱軸為x=-$\frac{12a}{2×6a}$=-1，b=f′（0），
而f（0）=0，
A和D選項中，二次函數(shù)f′（x）的對稱軸不是x=-1，不滿足條件．
B．二次函數(shù)的函數(shù)零點為-4，2，
則-4×2=$\frac{6a}$=-8，即b=-48a，且a＞0，
則f′（x）=6ax²+12ax-48a=6a（x²+2x-8）=6a（x-2）（x+4），
由f′（x）＞0得x＞2或x＜-4，此時函數(shù)遞增，
由f′（x）＜0得-4＜x＜2，此時函數(shù)遞減，
即當x=2時，函數(shù)f（x）取得極小值，當x=-4時，函數(shù)f（x）取得極大值，故B正確，
C中，二次函數(shù)過原點，則f′（0）=0，即b=0，且a＞0，
則f′（x）=6ax²+12ax=6ax（x+2），
f′（x）＞0得x＞0或x＜-2，此時函數(shù)遞增，
由f′（x）＜0得-2＜x＜0，此時函數(shù)遞減，
即當x=0時，函數(shù)f（x）取得極小值，當x=-2時，函數(shù)f（x）取得極大值，故C錯誤，
故選：B．

點評 本題主要考查函數(shù)圖象的判斷和識別，根據(jù)一元二次函數(shù)的性質(zhì)結合三次函數(shù)的極值的性質(zhì)是解決本題的關鍵．