Question

設f（x）=px--2lnx．
（Ⅰ）若f（x）在其定義域內為單調遞增函數，求實數p的取值范圍；
（Ⅱ）設g（x）=，且p＞0，若在[1，e]上至少存在一點x，使得f（x）＞g（x）成立，求實數p的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（I）由 f（x）=px--2lnx，得=．由px²-2x+p≥0在（0，+∞）內恒成立，能求出P的范圍．
（II）法1：g（x）=在[1，e]上是減函數，所以g（x）∈[2，2e]．原命題等價于[f（x）]_max＞[g（x）]_min=2，x∈[1，e]，由，解得p＞，由此能求出p的取值范圍．
法2：原命題等價于f（x）-g（x）＞0在[1，e）上有解，設F（x）=f（x）-g（x）=px--2lnx-，由
=，知F（x）是增函數，由[F（x）]max=F（e）＞0，能求出p的取值范圍．
解答：解：（I）由 f（x）=px--2lnx，
得=．…（3分）
要使f（x）在其定義域（0，+∞）內為單調增函數，只需f′（x）≥0，
即px²-2x+p≥0在（0，+∞）內恒成立，…（5分）
從而P≥1．…（7分）
（II）解法1：g（x）=在[1，e]上是減函數，
所以[g（x）]_min=g（e）=2，[g（x）]_max=g（1）=2e，即g（x）∈[2，2e]．
當0＜p＜1時，由x∈[1，e]，得x-，
故，不合題意．…（10分）
當P≥1時，由（I）知f（x）在[1，e]連續(xù)遞增，f（1）=0＜2，又g（x）在[1，e]上是減函數，
∴原命題等價于[f（x）]_max＞[g（x）]_min=2，x∈[1，e]，…（12分）
由，解得p＞，
綜上，p的取值范圍是（，+∞）．…（15分）
解法2：原命題等價于f（x）-g（x）＞0在[1，e）上有解，
設F（x）=f（x）-g（x）=px--2lnx-，
∵
=，
∴F（x）是增函數，…（10分）
∴[F（x）]max=F（e）＞0，解得p＞，
∴p的取值范圍是（，+∞）．…（15分）
點評：本題考查得用導數求函數最值的應用，考查運算求解能力，推理論證能力；考查化歸與轉化思想．對數學思維的要求比較高，有一定的探索性．綜合性強，難度大，是高考的重點．解題時要認真審題，仔細解答．