求“方程（
3
5
）x+（
4
5
）x=1的解”有如下解題思路：設(shè)f（x）=（
3
5
）x+（
4
5
）x，則f（x）在R上單調(diào)遞減，且f（2）=1，所以原方程有唯一解x=2．類比上述解題思路，類比上述解題思路，方程x6+x2=x3+6x2+13x+10的所有實(shí)數(shù)解之和為
1
1
．
分析：方程x6+x2=x3+6x2+13x+10等價(jià)為x6+x2=（x+2）3+（x+2）．類比“方程（
3
5
）x+（
4
5
）x=1，求“方程的解的解題思路，設(shè)f（x）=x3+x，利用導(dǎo)數(shù)研究f（x）在R上單調(diào)遞增，從而根據(jù)原方程可得x2=x+2，解之即得方程x6+x2=（x+2）3+（x+2）的解集．
解答：解：∵方程x6+x2=x3+6x2+13x+10等價(jià)為x6+x2=（x+2）3+（x+2）．
∴設(shè)f（x）=x3+x，
則函數(shù)f（x）在R上單調(diào)遞增，
由x6+x2=（x+2）3+（x+2），
即（x2）3+x2=（x+2）3+（x+2），
∴x2=x+2，
解得，x=-1或x=2．
∴方程x6+x2=（x+2）3+（x+2）的解集為{-1，2}．
∴-1+2=1．
故答案為：1
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了類比推理，考查了導(dǎo)數(shù)與單調(diào)性的關(guān)系，函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用，考查學(xué)生分析問題，解決問題的能力．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

問題“求方程3x+4x=5x的解”有如下的思路：方程3x+4x=5x可變?yōu)?span id="epnxhp1" class="MathJye">(
3
5
)x+(
4
5
)x=1，考察函數(shù)f（x）=(
3
5
)x+(
4
5
)x可知，f（2）=1，且函數(shù)f（x）在R上單調(diào)遞減，∴原方程有唯一解x=2．仿照此解法可得到不等式：x6-（2x+3）＞（2x+3）3-x2的解是
{x|x＜-1或x＞3}
{x|x＜-1或x＞3}
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2013•黑龍江二模）求“方程（
3
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）x+（
4
5
）x=1的解”有如下解題思路：設(shè)f（x）=（
3
5
）x+（
4
5
）x，則f（x）在R上單調(diào)遞減，且f（2）=1，所以原方程有唯一解x=2．類比上述解題思路，方程x6+x2=（x+2）3+（x+2）的解集為
{-1，2}
{-1，2}
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知a，b是方程4x2-4kx-1=0（k∈R）的兩個(gè)不等實(shí)根，函數(shù)f(x)=
2x-k
x2+1
的定義域?yàn)閇a，b]．
（1）當(dāng)k=0時(shí)，求函數(shù)f（x）的值域；
（2）證明：函數(shù)f（x）在其定義域[a，b]上是增函數(shù)；
（3）在（1）的條件下，設(shè)函數(shù)g(x)=x3-3m2x+
3
5
 (-
1
2
≤x≤
1
2
， 0＜m＜
1
2
)，若對(duì)任意的x1∈[-
1
2
，
1
2
]，總存在x2∈[-
1
2
，
1
2
]，使得f（x2）=g（x1）成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：黑龍江二模 題型：填空題

求“方程（
3
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）x+（
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5
）x=1的解”有如下解題思路：設(shè)f（x）=（
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）x+（
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）x，則f（x）在R上單調(diào)遞減，且f（2）=1，所以原方程有唯一解x=2．類比上述解題思路，方程x6+x2=（x+2）3+（x+2）的解集為______．

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