17．已知銳角△ABC的內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，若acosB=4csinC-bcosA，則cosC=$\frac{\sqrt{15}}{4}$．

分析 由正弦定理，三角形內(nèi)角和定理，誘導(dǎo)公式，兩角和的正弦函數(shù)公式化簡(jiǎn)已知等式可得sinC=4sin2C，結(jié)合C為銳角，可求sinC，進(jìn)而利用同角三角函數(shù)基本關(guān)系式可求cosC的值．

解答 解：∵acosB=4csinC-bcosA，
∴由正弦定理可得：sinAcosB+sinBcosA=4sin2C，
又∵sinAcosB+sinBcosA=sin（A+B）=sinC，
∴sinC=4sin2C，
∵C為銳角，sinC＞0，cosC＞0，
∴sinC=$\frac{1}{4}$，cosC=$\sqrt{1-si{n}^{2}C}$=$\frac{\sqrt{15}}{4}$．
故答案為：$\frac{\sqrt{15}}{4}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了正弦定理，三角形內(nèi)角和定理，誘導(dǎo)公式，兩角和的正弦函數(shù)公式，同角三角函數(shù)基本關(guān)系式在解三角形中的應(yīng)用，考查了轉(zhuǎn)化思想，屬于基礎(chǔ)題．

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