Question

設(shè)P，Q是復(fù)平面上的點(diǎn)集，P={z|z•

.

z

+3i(z-

.

z

)+5=0}，Q={ω|ω=2iz，z∈P}
（1）P，Q分別表示什么曲線？（2）設(shè)z₁∈P，z₂∈Q，求|z₁-z₂|的最大值與最小值．

Answer 1

分析：（1）設(shè)復(fù)數(shù)z=x+yi（x，y∈R），代入P={z|z•

.

z

+3i(z-

.

z

)+5=0}，整理即可求得點(diǎn)P的軌跡方程，設(shè)出復(fù)數(shù)ω=x+yi（x，y∈R），z=x₀+y₀i∈P（x₀，y₀∈R）且ω=2iz，
代入點(diǎn)P的軌跡方程，即可求得Q的軌跡方程，從而求得結(jié)果；
（2）根據(jù)（1）可知，集合P，Q是兩個(gè)圓，）|z₁-z₂|表示分別在圓P，Q上的兩個(gè)動點(diǎn)間的距離，即可求得結(jié)果．

解答：解：（1）設(shè)z=x+yi（x，y∈R），
則集合P{（x，y）|x²+y²-6y+5=0}={（x，y）|x²+（y-3）²=4}，
故P表示以（0，3）為圓心，2為半徑的圓；                         
設(shè)ω=x+yi（x，y∈R），z=x₀+y₀i∈P（x₀，y₀∈R）且ω=2iz，
則

x=-2y0 y=2x0

將

x0= 1 2 y y0=- 1 2 x

代入x²+（y-3）²=4得（x+6）²+y²=16，
故Q表示以（-6，0）為圓心，4為半徑的圓；                       
（2）|z₁-z₂|表示分別在圓P，Q上的兩個(gè)動點(diǎn)間的距離，又圓心距|PQ|=3

5

＞2+4，
故|z₁-z₂|最大值為6+3

5

，最小值為3

5

-6．

點(diǎn)評：本題考查復(fù)數(shù)的代數(shù)表示和幾何意義，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想，以及代入法求軌跡方程，屬中檔題．