【題目】如圖,四棱錐P﹣ABCD中,底面ABCD為平行四邊形,且AC=BD,平面PA⊥平面ABCD,E為PD的中點.

(1)證明:PB∥平面AEC;
(2)在△PAD中,AP=2,AD=2 ,PD=4,三棱錐E﹣ACD的體積是 ,求二面角D﹣AE﹣C的大小.

【答案】
(1)證明:連結(jié)BD交AC于點O,連結(jié)EO.

∵ABCD是平行四邊形,∴O為BD的中點.

又E為PD的中點,∴EO∥PB.

∵EO平面AEC,PB平面AEC,∴PB∥平面AEC.


(2)解:∵在△PAD中, ,

∴AP2+AD2=PD2,∴∠PAD=90°,∴PA⊥AD.

又∵平面PAD⊥平面ABC,∴PA⊥平面ABC,

在平行四邊形ABCD中,AC=BD,∴ABCD為矩形,

∴AB,AD,AP兩兩垂直.

如圖,以A為坐標(biāo)原點, 的方向為x軸的正方向, 為單位長,建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)﹣xyz,

∵E為PD的中點,∴三棱錐E﹣ACD的高為

設(shè)AB=m(m>0),三棱錐E﹣ACD的體積 ,解得m=3=AB.

,

設(shè)B(3,0,0)(m>0),則

設(shè) 為平面ACE的法向量,

,即 ,取y=﹣1,得

為平面DAE的法向量,

由題設(shè)

即二面角D﹣AE﹣C的大小是60°.


【解析】(1)連結(jié)BD交AC于點O,連結(jié)EO,則EO∥PB,由此能證明PB∥平面AEC.(2)推導(dǎo)出PA⊥AD.則PA⊥平面ABC,以A為坐標(biāo)原點, 的方向為x軸的正方向, 為單位長,建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)﹣xyz,利用向量法能求出二面角D﹣AE﹣C的大。
【考點精析】利用直線與平面平行的判定對題目進行判斷即可得到答案,需要熟知平面外一條直線與此平面內(nèi)的一條直線平行,則該直線與此平面平行;簡記為:線線平行,則線面平行.

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