Question

設(shè)函數(shù)f（x）=（1+x）²-ln（1+x）²+2．
（1）求函數(shù)f（x）的單調(diào)增區(qū)間；
（2）若不等式f（x）＞m在x∈[

1

e

-1，e-1]恒成立，求實數(shù)m的取值范圍．
（3）若對任意的a∈（1，2），總存在x₀∈[1，2]，使不等式f(x0)＞a+

9

4a

+m成立，求實數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

（1）函數(shù)的定義域為{x|x≠-1}…（1分）
f′(x)=2(1+x)-

2

x+1

=

2x(x+2)

x+1

…（2分）
由f′（x）＞0得-2＜x＜-1或x＞0
故函數(shù)f（x）的單調(diào)增區(qū)間為（-2，-1）和（0，+∞）
（2）∵當x∈[

1

e

-1，0]時f′（x）＜0…（4分）
當x∈[0，e-1]時f′（x）＞0
∴f（x）在[

1

e

-1，0]上單調(diào)遞減，在[0，e-1]上單調(diào)遞減．…（6分）
f（x）_min=f（0）=1-0+2=3
∴m＜3…（8分）
（3）設(shè)g(a)=a+

9

4a

+m，g′(a)=1-

9

4a2

=0?a=

3

2

y=g（a）在a∈(1，

3

2

)上單減，在a∈(

3

2

，2)上單增…（10分）
由（1）知f（x）在[1，2]上單增，
∴f_max=f（2）=11-ln9…（12分）
又g(1)=

13

4

+m
g(2)=

25

8

+m
g（1）＞g（2）
∴11-ln9＞

13

4

+m
∴m＜

31

4

-ln9…（14分）