Question

已知f₁（x）=cosx，f₂（x）=f₁′（x），f₃（x）=f₂′（x），f₄（x）=f₃′（x），…，f_n（x）=f_n-1′（x），則f₂₀₁₀（x）=

 

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Answer 1

考點(diǎn)：導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算

專題：導(dǎo)數(shù)的概念及應(yīng)用

分析：分別求出f₂（x），f₃（x），f₄（x），…的導(dǎo)數(shù)，通過(guò)觀察發(fā)現(xiàn)f_n（x）的值周期性重復(fù)出現(xiàn)，周期為4，所以用2010除以4得到余數(shù)為2，所以f₂₀₁₀（x）=f₂（x），求出即可．

解答： 解：∵f₂（x）=（cosx）′=-sinx，
f₃（x）=（-sinx）′=-cosx，
f₄（x）=（-cosx）′=sinx，
f₅（x）=（sinx）′=cosx，…，
由此可知f_n（x）的值周期性重復(fù)出現(xiàn)，周期為4，
因?yàn)?010=4×502+2
故f₂₀₁₀（x）=f₂（x）=-sinx．
故答案為：-sinx．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查導(dǎo)數(shù)的計(jì)算，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的公式得到導(dǎo)數(shù)取值的周期性是解決本題的關(guān)鍵．