（2012•天津）已知橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)，點P（
5
5
a，
2
2
a）在橢圓上．
（1）求橢圓的離心率；
（2）設(shè)A為橢圓的左頂點，O為坐標原點．若點Q在橢圓上且滿足|AQ|=|AO|，求直線OQ的斜率的值．
分析：（1）根據(jù)點P（
5
5
a，
2
2
a）在橢圓上，可得
a2
5a2
+
a2
2b2
=1，由此可求橢圓的離心率；
（2）設(shè)直線OQ的斜率為k，則其方程為y=kx，設(shè)點Q的坐標為（x0，y0），與橢圓方程聯(lián)立，x02=
a2b2
k2a2+b2
，根據(jù)|AQ|=|AO|，A（-a，0），y0=kx0，可求x0=
-2a
1+k2
，由此可求直線OQ的斜率的值．
解答：解：（1）因為點P（
5
5
a，
2
2
a）在橢圓上，所以
a2
5a2
+
a2
2b2
=1
∴
b2
a2
=
5
8

∴e2=1-
b2
a2
=1-
5
8
=
3
8

∴e=
6
4

（2）設(shè)直線OQ的斜率為，則其方程為y=kx
設(shè)點Q的坐標為（x0，y0），由條件得
y0=kx0
x02
a2
+
y02
b2
=1
，消元并整理可得x02=
a2b2
k2a2+b2
①
∵|AQ|=|AO|，A（-a，0），y0=kx0，
∴(x0+a)2+k2x02=a2
∴(1+k2)x02=-2ax0
∵x0≠0，∴x0=
-2a
1+k2

代入①，整理得(1+k2)2=4k2×
a2
b2
+4
∵
b2
a2
=
5
8

∴(1+k2)2=
32
5
k2+4，
∴5k4-22k2-15=0
∴k2=5
∴k=±
5
點評：本題考查橢圓的離心率，考查直線與橢圓的位置關(guān)系，聯(lián)立方程組是關(guān)鍵．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2012•天津）已知集合A={x∈R||x+2|＜3}，集合B={x∈R|（x-m）（x-2）＜0}，且A∩B=（-1，n）．則m=
-1
-1
，n=
1
1
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2012•天津）已知函數(shù)f（x）=sin（2x+
π
3
）+sin（2x-
π
3
）+2cos2x-1，x∈R．
（1）求函數(shù)f（x）的最小正周期；
（2）求函數(shù)f（x）在區(qū)間[-
π
4
，
π
4
]上的最大值和最小值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2012•天津）已知雙曲線C1：
x2
a2
-
y2
b2
=1(a＞0，b＞0)與雙曲線C2：
x2
4
-
y2
16
=1有相同的漸近線，且C1的右焦點為F（
5
，0）．則a=
1
1
，b=
2
2
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2012•天津）已知函數(shù)y=
|x2-1|x-1
的圖象與函數(shù)y=kx-2的圖象恰有兩個交點，則實數(shù)k的取值范圍是
（0，1）∪（1，4）
（0，1）∪（1，4）
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2012•天津）已知函數(shù)f（x）=x-ln（x+a）的最小值為0，其中a＞0．
（1）求a的值；
（2）若對任意的x∈[0，+∞），有f（x）≤kx2成立，求實數(shù)k的最小值；
（3）證明：
n
i=1
2
2i-1
-ln(2n+1)＜2（n∈N*）．

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