Question

已知中心在原點，焦點在x軸上，離心率為

3

2

的橢圓過點（

2

，

2

2

）
（1）求橢圓方程；
（2）設不過原點O的直線l：y=kx+m（k≠0），與該橢圓交于P、Q兩點，直線OP、OQ的斜率依次為k₁、k₂，滿足4k=k₁+k₂
①求證：m²為定值，并求出此定值；
②求△OPQ面積的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）由題設條件，設c=

3

k，a=2k，則b=k，橢圓方程為

x2

4k2

+

y2

k2

=1，把點（

2

，

2

2

）代入，得k²=1，由此能求出橢圓方程．
（2）①由

y=kx+m x2 4 +y2=1

，得（1+4k²）x²+8kmx+4（m²-1）=0，x1+x2 =-

8km

1+4k2

，x1x2=

4(m2-1)

1+4k2

．直線OP，OQ的斜率依次為k₁，k₂，4k=k1+k2=

y1

x1

+

y2

x2

=

kx1+m

x1

+

kx2+m

x2

，由此解得m2=

1

2

．
②S△OPQ=

1

2

|x1-x2| • |m|=

8k2+1

1+4k2

，令

8k2+1

=t＞1，得S△OPQ=

2t

t2+1

=

2

t+ 1 t

＜1，由此能求出△OPQ面積的取值范圍．

解答：解：（1）由題設條件，設c=

3

k，a=2k，則b=k，
∴橢圓方程為

x2

4k2

+

y2

k2

=1，
把點（

2

，

2

2

）代入，得k²=1，
∴橢圓方程為

x2

4

+y2=1．
（2）①由

y=kx+m x2 4 +y2=1

，得（1+4k²）x²+8kmx+4（m²-1）=0，
∴x1+x2 =-

8km

1+4k2

，x1x2=

4(m2-1)

1+4k2

．
∵直線OP，OQ的斜率依次為k₁，k₂，
∴4k=k1+k2=

y1

x1

+

y2

x2

=

kx1+m

x1

+

kx2+m

x2

，
∴2kx₁x₂=m（x₁+x₂），由此解得m2=

1

2

，驗證△＞0成立．
②S△OPQ=

1

2

|x1-x2| • |m|=

8k2+1

1+4k2

，令

8k2+1

=t＞1，
得S△OPQ=

2t

t2+1

=

2

t+ 1 t

＜1，
∴S_△OPQ∈（0，1）．

點評：本題考查橢圓的方程和求法和直線與橢圓的位置關系的綜合運用，解題時要注意橢圓性質(zhì)的靈活運用．