Question

某人有四種顏色的燈泡（每種顏色的燈泡足夠多）要在如圖所示的6個點A，B，C，A₁，B₁，C₁上各裝一個燈泡，要求同一條線段的兩端的燈泡不同色，則至少用了三種顏色的燈泡的安裝方法共有________種．（用數(shù)字作答）

Answer 1

264
分析：由于至少用三種顏色，故利用分類計數(shù)原理可將任務分為兩類：第一類，用了三種顏色安裝；第二類，用了四種顏色安裝，最后將兩類的方法數(shù)求和即可，在每類中計數(shù)時，可利用分步計數(shù)原理，第一步安排A、B、C三點，因為它們一定不同色，第二步，安排A₁點，第三步，安排B₁、C₁點，將三步方法數(shù)相乘．
解答：∵至少用了三種顏色的燈泡安裝．
∴可能用了三種顏色安裝，可能用了四種顏色安裝．
由分類計數(shù)原理，可分兩類：
第一類，用了三種顏色安裝，
第一步，為A、B、C三點選三種顏色燈泡共有A₄³種選法；第二步，為A₁點選一種顏色共有不同于A點的2種選法；第三步，為B₁、C₁選燈泡，共有1種選法
∴第一類共有A₄³×2×1=48種方法．
第二類，用了四種顏色安裝，
第一步，為A、B、C三點選三種顏色燈泡共有A₄³種選法；第二步，為A₁點選一種顏色共有不同于A點的3種選法；第三步，為B₁、C₁選燈泡：若B₁與A同色，則C₁只能選B點顏色；若B₁與C同色，則C₁有A、B處兩種顏色可選．故為B₁、C₁選燈泡共有3種選法
∴第二類共有A₄³×3×3=216種方法．
綜上所述，至少用了三種顏色的燈泡的安裝方法共有48+216=264種方法
故答案為 264
點評：本題考查了分類計數(shù)原理與分步計數(shù)原理的運用，排列、組合在計數(shù)中的應用，合理分類，恰當分步是解決本題的關(guān)鍵