Question

已知數(shù)列{}的前n項和 (n為正整數(shù))。

（1）令，求證數(shù)列{}是等差數(shù)列，并求數(shù)列{}的通項公式；

（2）令，試比較與的大小，并予以證明．

 

Answer 1

（1）（2）當，當時.

【解析】

試題分析：（1）已知，一般利用進行化簡條件，當時，，，又數(shù)列是首項和公差均為1的等差數(shù)列，于是.（2）由（1）得，是等差乘等比型，所以其和求法為“錯位相減法”， 即得.數(shù)列中比較大小，一般用作差，即,而比較的大小，有兩個思路，一是數(shù)學歸納法，二是二項展開式定理.

試題解析：（1）在中，令n=1，可得，即 1

當時，， 2

.

又數(shù)列是首項和公差均為1的等差數(shù)列 4

于是 .6

(2)由（1）得，所以

由①-②得

9

2

于是確定的大小關(guān)系等價于比較的大小

猜想：當證明如下：

證法1：（1）當n=3時，由猜想顯然成立．

（2）假設(shè)時猜想成立．即

則時，

所以當時猜想也成立

綜合（1）（2）可知 ，對一切的正整數(shù)，都有

證法2：當時

綜上所述，當，當時 14

考點：等差數(shù)列定義，錯位相減法求和，數(shù)學歸納法證明不等式