Question

設(shè)點(diǎn)（a，b）在平面區(qū)域D={（a，b）||a|≤1，|b|≤1}中按均勻分布出現(xiàn)，則橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的離心率e＜

3

2

的概率為

1

16

．

Answer 1

分析：先計(jì)算平面區(qū)域D的面積，作為基本事件空間，再由橢圓離心率的范圍計(jì)算橢圓a、b間的不等式，作為概率事件的約束條件，并畫(huà)出其對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域，計(jì)算其面積，最后由幾何概型概率計(jì)算公式計(jì)算概率即可

解答：解：如圖平面區(qū)域D為如圖的正方形ABCD及其內(nèi)部，其面積為S=2×2=4
∵橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的離心率e＜

3

2

，
∴

a2-b2

a2

＜

3

4

，即a＜2b
設(shè)事件A={橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的離心率e＜

3

2

}
則事件A對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域?yàn)?span id="hjmsdrg" class="MathJye">

1≥a＞b＞0 a＜2b

，如圖陰影部分，
面積為S（A）=1-

1

2

-

1

4

=

1

4

∴事件A發(fā)生的概率P（A）=

S(A)

S

=

1 4

4

=

1

16

故答案為

1

16

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了二維幾何概型的概率計(jì)算，橢圓的幾何性質(zhì)，準(zhǔn)確的畫(huà)出事件對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域是解決本題的關(guān)鍵