Question

已知函數f（x）=，（a＞0），
（Ⅰ）當f（x）∈[，]時，求x的取值范圍．
（Ⅱ）若f（0）=0，正項數列{a_n}滿足a₁=1，a_n+1=f（a_n），
①證明{+1}是等比數列，并求出{a_n}的通項公式；
②若S_n是數列{a_n}的前n項和，證明：S_n＜2．

Answer 1

【答案】分析：（1）由題意可得，，解分式不等式可求x的范圍
（2）①由f（0）=0，可求a，進而可求f（x），由a_n+1=f（a_n）可得，，構造，可知數列{+1}是等比數列，可求，進而可求a_n
②由=可證明，可證
解答：解：（1）∵f（x）∈[，]，
∴
∴
∴
又a＞0，
所以
∴2≤x≤3a+5
（2）①∵f（0）=0，
∴a=1，f（x）=，
由a_n+1=f（a_n），可得，，
即
∵a₁=1
∴
∴數列{+1}是以2為首項，以2為公比的等比數列
∴=2ⁿ
∴
②∴=
∴
∴S_n=a₁+a₂+…+a_n==
點評：本題主要考查了利用待定系數求解函數的解析式，等比數列的 定義法的證明，及等比數列的 通項公式的應用，等比數列的求和公式的應用等知識的綜合．