Question

（1）求證：對任何實數k，x²+y²-2kx-（2k+6）y-2k-31=0恒過兩定點，并求經過該兩定點且面積最小的圓E的方程；
（2）若PA，PB為（1）中所求圓E的兩條切線，A、B為切點，求

PA

•

PB

的最小值．

Answer 1

分析：（1）這是一個圓系方程，將x²+y²-2kx-（2k+6）y-2k-31=0轉化為：x²+y²-6y-31+k（-2x-2y-2）=0，依題意，解方程組

x2+y2-6y-31=0 -2x-2y-2=0

即可求得兩定點及面積最小的圓E的方程；
（2）設PA=PB=x，∠APB=θ，由余弦定理得cosθ=

x2-32

x2+32

，利用向量的數量積可得

PA

•

PB

=（x²+32）+

2048

x2+32

-96，利用基本不等式即可求得答案．

解答：解：（1）∵x²+y²-2kx-（2k+6）y-2k-31=0，
∴x²+y²-6y-31+k（-2x-2y-2）=0，
∴

x2+y2-6y-31=0 -2x-2y-2=0

解此方程組得：

x=-6 y=5

或

x=2 y=-3

，
∴x²+y²-2kx-（2k+6）y-2k-31=0恒過兩定點M（-6，5），N（2，-3）；
∴經過該兩定點且面積最小的圓E就是以MN為直徑的圓，
∵MN的中點H（-2，1），|MN|=

[2-(-6)]2+(-3-5)2

=8

2

，
∴以MN為直徑的圓的方程為：（x+2）²+（y-1）²=32．
②設PA=PB=x，∠APB=θ，
則由余弦定理得：|AB|²=2x²-2x²cosθ=64+64cosθ，
∴cosθ=

x2-32

x2+32

，
∴

PA

•

PB

=x²•

x2-32

x2+32

=

[(x2+32)-32]2-32[(x2+32)-32]

x2+32

=（x²+32）+

2048

x2+32

-96
≥64

2

-96（當且僅當x²+32=

2048

x2+32

，即x²=32(

2

-1)時，取“=”．
故

PA

•

PB

的最小值為64

2

-96．

點評：本題考查圓系方程，考查余弦定理與基本不等式在幾何中的綜合應用，考查轉化思想分析運算能力，屬于難題．