Question

已知數(shù)列{a_n}，{b_n}滿足：a₁=3，當n≥2時，a_n-1+a_n=4n；對于任意的正整數(shù)n，．設{b_n}的前n項和為S_n．
（Ⅰ）計算a₂，a₃，并求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（Ⅱ）求滿足13＜S_n＜14的n的集合．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）在a_n-1+a_n=4n中，取n=2，得a₁+a₂=8，又a₁=3，故a₂=5．同樣可得a₃=7．由a_n-1+a_n=4n及a_n+1+a_n=4（n+1）兩式相減可得：a_n+1-a_n-1=4，所以數(shù)列{a_n}的奇數(shù)項和偶數(shù)項各自成等差數(shù)列，公差為4，而a₂-a₁=2，故{a_n}是公差為2的等差數(shù)列，故可求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（Ⅱ）利用，令n=1得b₁=a₁=3，，與兩式相減可得：2ⁿb_n+1=（n+1）a_n+1-na_n=（n+1）（2n+3）-n（2n+1）=4n+3，，從而可求{b_n}的通項公式，再利用錯位相減法求和，即可得出結論．
解答：解：（Ⅰ）在a_n-1+a_n=4n中，取n=2，得a₁+a₂=8，又a₁=3，故a₂=5．
同樣取n=3，可得a₂+a₃=12，∴a₃=7．（2分）
由a_n-1+a_n=4n及a_n+1+a_n=4（n+1）兩式相減可得：a_n+1-a_n-1=4，
所以數(shù)列{a_n}的奇數(shù)項和偶數(shù)項各自成等差數(shù)列，公差為4，而a₂-a₁=2，故{a_n}是公差為2的等差數(shù)列，
∴a_n=2n+1．（5分）
（Ⅱ）在中，令n=1得b₁=a₁=3．（6分）
又，與
兩式相減可得：2ⁿb_n+1=（n+1）a_n+1-na_n=（n+1）（2n+3）-n（2n+1）=4n+3，
∴，即當n≥2時，
經(jīng)檢驗，b₁=3也符合該式，所以，{b_n}的通項公式為（9分）
．
．
相減可得：
利用等比數(shù)列求和公式并化簡得：（11分）
可見，?n∈N₊，S_n＜14（12分）
經(jīng)計算，，
注意到 {b_n}的各項為正，故S_n單調(diào)遞增，所以滿足13＜S_n＜14的n的集合為{n|n≥6，n∈N}．（14分）
點評：本題考查數(shù)列與不等式的綜合，考查數(shù)列通項公式的求解，不等式的解法，考查轉(zhuǎn)化思想，計算能力．