Question

已知函數(shù)f（x）=x-

1

x

．
（1）判斷函數(shù)f（x）的奇偶性，并加以證明；
（2）用定義證明函數(shù)f（x）在區(qū)間[1，+∞）上為增函數(shù)；
（3）若函數(shù)f（x）在區(qū)間[2，a]上的最大值與最小值之和不小于

11a-2

2a

，求a的取值范圍．

Answer 1

考點：函數(shù)奇偶性的性質(zhì),利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）判斷出函數(shù)是奇函數(shù)再證明，確定函數(shù)定義域且關(guān)于原點對稱，利用奇函數(shù)的定義可判斷；
（2）判斷函數(shù)f（x）在（0，+∞）上是增函數(shù)，證明按照取值、作差、變形定號、下結(jié)論步驟即可；
（3）根據(jù)（2）的結(jié)論得函數(shù)在區(qū)間[2，a]上的單調(diào)性，再求出最大值、最小值，根據(jù)條件列出不等式求出a得范圍．

解答： 解：（1）函數(shù)f(x)=x-

1

x

是奇函數(shù)．…（1分）
∵定義域：（-∞，0）∪（0，+∞），定義域關(guān)于原點對稱，…（2分）
且f(-x)=-x+

1

x

=-(x-

1

x

)=-f(x)  …（3分）
∴函數(shù)f(x)=x-

1

x

是奇函數(shù)．…（4分）
（2）證明：設(shè)任意實數(shù)x₁，x₂∈[1，+∞），且x₁＜x₂  …（5分）
則f(x1)-f(x2)=x1-

1

x1

-（x2-

1

x2

）═x1-x2-

1

x1

+

1

x2

═x1-x2-

x2-x1

x1x2

=(x1-x2)(1+

1

x1x2

)=

(x1-x2)(x1x2+1)

x1x2

   …（6分）
∵x₁＜x₂，x₁，x₂∈[1，+∞）
∴x₁-x₂＜0，x₁x₂＞0，x₁x₂+1＞0，…（7分）
∴

(x1-x2)(x1x2+1)

x1x2

＜0   …（8分）
∴f（x₁）-f（x₂）＜0，即f（x₁）＜f（x₂）    …（9分）
∴函數(shù)f（x）在區(qū)間[1，+∞）上為增函數(shù)．…（10分）
（3）∵[2，a]⊆[1，+∞）
∴函數(shù)f（x）在區(qū)間[2，a]上也為增函數(shù)．…（11分）
∴f(x)max=f(a)=a-

1

a

，f(x)min=f(2)=2-

1

2

=

3

2

   …（12分）
若函數(shù)f（x）在區(qū)間[2，a]上的最大值與最小值之和不小于

11a-2

2a

，
則a-

1

a

+

3

2

≥

11a-2

2a

=

11

2

-

1

a

  …（13分）
解得a≥4，
∴a的取值范圍是[4，+∞）．…（14分）

點評：本題考查了函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性的判斷方法，及函數(shù)的最值問題，把握定義法證明函數(shù)的單調(diào)性：取值、作差、變形定號、下結(jié)論步驟證明．