過拋物線焦點(diǎn)垂直于對(duì)稱軸的弦叫做拋物線的通徑.如圖,已知拋物線y2=2px(p>0),過其焦點(diǎn)F的直線交拋物線于A(x1,y1)、B(x2,y2)兩點(diǎn),過A、B作準(zhǔn)線的垂線,垂足分別為A1、B1
(1)求出拋物線的通徑,證明x1x2和y1y2都是定值,并求出這個(gè)定值;
(2)證明:A1F⊥B1F.
分析:(1)當(dāng)AB⊥x時(shí),根據(jù)拋物線方程得到A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo),直接計(jì)算可得通徑的長(zhǎng),并且x1x2=
p2
4
y1y2=-p2,是定值;當(dāng)AB與x軸不垂直時(shí),設(shè)AB方程的點(diǎn)斜式形式,并且與拋物線聯(lián)解消去x得到關(guān)于y的方程,利用根與系數(shù)的關(guān)系算出y1y2=-p2,結(jié)合拋物線方程即可得到x1x2=
p2
4
,從而使命題得到證明.
(2)根據(jù)題意,得出A1、B1的坐標(biāo),從而得到向量
FA1
、
FB1
的坐標(biāo),計(jì)算
FA1
、
FB1
數(shù)量積并進(jìn)行化簡(jiǎn)得到0,由此即可得到A1F⊥B1F.
解答:解:∵拋物線方程是y2=2px,
∴拋物線的焦點(diǎn)F(
p
2
,0)
,準(zhǔn)線x=-
p
2

(1)①當(dāng)AB⊥x時(shí),可得A(
p
2
,p)
、B(
p
2
,-p)
,
∴通徑長(zhǎng)為p-(-p)=2p,
可得此時(shí)x1x2=
p2
4
y1y2=-p2,是定值.
②AB與x軸不垂直時(shí),設(shè)AB:y=k(x-
p
2
)
(k≠0)
y=k(x-
p
2
)
y2=2px
消去x,得
k
2p
y2-y-
kp
2
=0
,
由根與系數(shù)的關(guān)系,得y1y2=-p2,
再代入到拋物線方程,可得x1x2=
y12
2p
×
y22
2p
=
p2
4
,是定值.
綜上所述,過焦點(diǎn)F的直線交拋物線于A(x1,y1)、B(x2,y2)兩點(diǎn),必有x1x2=
p2
4
y1y2=-p2是定值;
(2)根據(jù)題意,可得A1(-
p
2
y1)
、B1(-
p
2
,y2)
,F(
p
2
,0)

∵焦點(diǎn)F(
p
2
,0)
,
FA1
=(p,y1),
FB1
=(p,y2)
,
由此可得
FA1
FB1
=p2+y1y2=p2+(-p2)=0
,
FA1
FB1
,即A1F⊥B1F.
點(diǎn)評(píng):本題給出拋物線經(jīng)過焦點(diǎn)的弦的端點(diǎn)A(x1,y1)、B(x2,y2),它們?cè)跍?zhǔn)線上的射影點(diǎn)分別為A1、B1,求證x1x2和y1y2都是定值并證明A1F⊥B1F.著重考查了拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程和簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)等知識(shí),屬于中檔題.
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

在平面直角坐標(biāo)系中,已知焦距為4的橢圓C:
x2
a2
+
y2
b2
=1  (a>b>0)
的左、右頂點(diǎn)分別為A、B,橢圓C的右焦點(diǎn)為F,過F作一條垂直于x軸的直線與橢圓相交于R、S,若線段RS的長(zhǎng)為
10
3

(1)求橢圓C的方程;
(2)設(shè)Q(t,m)是直線x=9上的點(diǎn),直線QA、QB與橢圓C分別交于點(diǎn)M、N,求證:直線MN
必過x軸上的一定點(diǎn),并求出此定點(diǎn)的坐標(biāo);
(3)實(shí)際上,第(2)小題的結(jié)論可以推廣到任意的橢圓、雙曲線以及拋物線,請(qǐng)你對(duì)拋物線y2=2px(p>0)寫出一個(gè)更一般的結(jié)論,并加以證明.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(2012•長(zhǎng)寧區(qū)二模)設(shè)拋物線C:y2=2px(p>0)的焦點(diǎn)為F,過F且垂直于x軸的直線與拋物線交于P1,P2兩點(diǎn),已知|P1P2|=8.
(1)求拋物線C的方程;
(2)設(shè)m>0,過點(diǎn)M(m,0)作方向向量為
d
=(1,
3
)
的直線與拋物線C相交于A,B兩點(diǎn),求使∠AFB為鈍角時(shí)實(shí)數(shù)m的取值范圍;
(3)①對(duì)給定的定點(diǎn)M(3,0),過M作直線與拋物線C相交于A,B兩點(diǎn),問是否存在一條垂直于x軸的直線與以線段AB為直徑的圓始終相切?若存在,請(qǐng)求出這條直線;若不存在,請(qǐng)說明理由.
②對(duì)M(m,0)(m>0),過M作直線與拋物線C相交于A,B兩點(diǎn),問是否存在一條垂直于x軸的直線與以線段AB為直徑的圓始終相切?(只要求寫出結(jié)論,不需用證明)

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:上海市長(zhǎng)寧區(qū)2012屆高三4月教學(xué)質(zhì)量檢測(cè)(二模)數(shù)學(xué)理科試題 題型:044

設(shè)拋物線C:y2=2px(p>0)的焦點(diǎn)為F,過F且垂直于x軸的直線與拋物線交于P1,P2兩點(diǎn),已知|P1P2|=8.

(1)求拋物線C的方程;

(2)設(shè)m>0,過點(diǎn)M(m,0)作方向向量為=(1,)的直線與拋物線C相交于A,B兩點(diǎn),求使∠AFB為鈍角時(shí)實(shí)數(shù)m的取值范圍;

(3)①對(duì)給定的定點(diǎn)M(3,0),過M作直線與拋物線C相交于A,B兩點(diǎn),問是否存在一條垂直于x軸的直線與以線段AB為直徑的圓始終相切?若存在,請(qǐng)求出這條直線;若不存在,請(qǐng)說明理由.

②對(duì)M(m,0)(m>0),過M作直線與拋物線C相交于A,B兩點(diǎn),問是否存在一條垂直于x軸的直線與以線段AB為直徑的圓始終相切?(只要求寫出結(jié)論,不需用證明)

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2011-2012學(xué)年上海市長(zhǎng)寧區(qū)高三4月教學(xué)質(zhì)量檢測(cè)(二模)理科數(shù)學(xué)試卷(解析版) 題型:解答題

(本題滿分18分)本題共有3個(gè)小題,第1小題滿分4分,第2小題滿分6分,第3小題滿分8分其中①6分、②2分。

設(shè)拋物線的焦點(diǎn)為,過且垂直于軸的直線與拋物線交于兩點(diǎn),已知.

(1)求拋物線的方程;

(2)設(shè),過點(diǎn)作方向向量為的直線與拋物線相交于兩點(diǎn),求使為鈍角時(shí)實(shí)數(shù)的取值范圍;

(3)①對(duì)給定的定點(diǎn),過作直線與拋物線相交于兩點(diǎn),問是否存在一條垂直于軸的直線與以線段為直徑的圓始終相切?若存在,請(qǐng)求出這條直線;若不存在,請(qǐng)說明理由。

②對(duì),過作直線與拋物線相交于兩點(diǎn),問是否存在一條垂直于軸的直線與以線段為直徑的圓始終相切?(只要求寫出結(jié)論,不需用證明)

 

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2012年上海市長(zhǎng)寧區(qū)高考數(shù)學(xué)二模試卷(理科)(解析版) 題型:解答題

設(shè)拋物線C:y2=2px(p>0)的焦點(diǎn)為F,過F且垂直于x軸的直線與拋物線交于P1,P2兩點(diǎn),已知|P1P2|=8.
(1)求拋物線C的方程;
(2)設(shè)m>0,過點(diǎn)M(m,0)作方向向量為的直線與拋物線C相交于A,B兩點(diǎn),求使∠AFB為鈍角時(shí)實(shí)數(shù)m的取值范圍;
(3)①對(duì)給定的定點(diǎn)M(3,0),過M作直線與拋物線C相交于A,B兩點(diǎn),問是否存在一條垂直于x軸的直線與以線段AB為直徑的圓始終相切?若存在,請(qǐng)求出這條直線;若不存在,請(qǐng)說明理由.
②對(duì)M(m,0)(m>0),過M作直線與拋物線C相交于A,B兩點(diǎn),問是否存在一條垂直于x軸的直線與以線段AB為直徑的圓始終相切?(只要求寫出結(jié)論,不需用證明)

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