Question

設(shè)函數(shù)，其中a＞0且a=1．
（1）若f（-1）=2，求a；
（2）若a=2，求不等式f（x）＜2的解集；
（3）若f（x）在定義域內(nèi)為增函數(shù)，求a的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）由題意可得log_a（1+a）=2，a²=1+a，解方程求得a的值．
（2）a=2時(shí)，由f（2）＜2，分x≥0 和x＜0 兩種情況，分別求出不等式的解集，再把解集取并集，即得所求．
（3）若x≥0，f（x）=2^x  在[0，+∞）上單調(diào)遞增，若x＜0，由 f（x）=log_a（1-ax）單調(diào)遞增，可得
0＜a＜1． 由此求得a的取值范圍．
解答：（1）由題意可得 f（-1）=log_a（1+a）=2，
∴a²=1+a，∴a²-a-1=0，∴．
∵a＞0，∴．
（2）a=2，∴，∵不等式為 f（2）＜2，
當(dāng)x≥0時(shí)，不等式即 2^x＜2，∴x＜1．
當(dāng)x＜0時(shí)，不等式即 log₂（1-2x）＜2，∴1-2x＜4，∴．
∴f（x）＜2的解集為[0，1）∪（-，0）=．
（3）若x≥0，f（x）=2^x  在[0，+∞）上單調(diào)遞增．
若x＜0，由 f（x）=log_a（1-ax）單調(diào)遞增，可得 0＜a＜1．
綜上，a的取值范圍為（0，1）．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查對(duì)數(shù)函數(shù)、指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性和特殊點(diǎn)，復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性，體現(xiàn)了分類討論的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題