Question

已知點(diǎn)P是圓x²+y²=16上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)A（12，0）是x軸上的一定點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)P在圓上運(yùn)動(dòng)時(shí)，線段PA的中點(diǎn)M的軌跡是什么？并判定此軌跡與圓x²+y²=16的位置關(guān)系．

Answer 1

分析：設(shè)出點(diǎn)M的坐標(biāo)和點(diǎn)P的坐標(biāo)，由中點(diǎn)坐標(biāo)公式把P的坐標(biāo)用M的坐標(biāo)表示，把P的坐標(biāo)代入圓的方程即可得到M的軌跡；然后利用兩圓的圓心距和半徑的關(guān)系進(jìn)行分析即可．

解答：解：設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為（x，y），點(diǎn)P的坐標(biāo)為（x₀，y₀），
由于點(diǎn)A（12，0），且M是線段PA的中點(diǎn)，所以，

x= x0+12 2 y= y0+0 2

，得

x0=2x-12 y0=2y

．
因?yàn)辄c(diǎn)P是圓x²+y²=16上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，所以P的坐標(biāo)滿足方程x02+y02=16．
代入整理得：（x-6）²+y²=4．
所以點(diǎn)M的軌跡為以（6，0）為圓心，2為半徑的圓，
因?yàn)閮蓤A的圓心距為

(6-0)2+(0-0)2

=6，兩圓的半徑之和為2+4=6，
所以兩圓外切．

點(diǎn)評：本題考查了軌跡方程，考查了圓與圓之間的關(guān)系，考查了利用代入法求曲線的軌跡方程，是中檔題．