Question

已知等比數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，且a₁+a₃=10，S₃-3a₂=4，且a₂＞a₁
（1）求{a_n}的通項公式；（2）求和：．

Answer 1

【答案】分析：（1）由數(shù)列{a_n}為等比數(shù)列，利用等比數(shù)列的通項公式及前n項和公式化簡已知的兩等式，得到關(guān)于首項與公比的方程組，求出方程組的解可得首項與公比的值，即可得到此數(shù)列的通項公式；
（2）根據(jù)所求式子的特點可設(shè)，表示出，把第一問求出的通項公式代入可得出的值為定值，即數(shù)列{b_n}為等比數(shù)列，求出b₁的值及公比，利用等比數(shù)列的前n項和公式即可求出所求式子的和T_n．
解答：解：（1）由a₁+a₃=10，S₃-3a₂=4，
化簡得：，（3分）
解得：，（5分）
當a₁=9，時，a₂＜a₁，不合題意，舍去，
當a₁=1，q=3時，可得a_n=3^n-1；（7分）
（2）設(shè)，
∵a_n=3^n-1，∴=-=-，
又b₁==1，
∴{b_n}是首項為1，公比為-的等比數(shù)列，（10分）
∴所求式子的和．（14分）
點評：此題考查了等比數(shù)列的性質(zhì)，等比數(shù)列的通項公式、求和公式，以及等比數(shù)列的確定，熟練掌握性質(zhì)及公式是解本題的關(guān)鍵．