已知橢圓數(shù)學(xué)公式過點數(shù)學(xué)公式且它的離心率為數(shù)學(xué)公式．
（1）求橢圓C1的方程；
（2）設(shè)橢圓C1的左焦點為F1，右焦點為F2，直線l1過點F1且垂直于橢圓的長軸，動直線l2垂直l1于點P，線段PF2的垂直平分線交l2于點M，求點M的軌跡C2的方程；
（3）已知動直線l過點Q（4，0），交軌跡C2于R、S兩點．是否存在垂直于x軸的直線m被以RQ為直徑的圓O1所截得的弦長恒為定值？如果存在，求出m的方程；如果不存在，說明理由．

解：（1）因為橢圓（a＞b＞0）過點，所以，b2=2，
又因為橢圓C1的離心率，所以，解得a2=3．
所以橢圓C1的方程是；
（2）因為線段PF2的垂直平分線交l2于點M，
所以|MP|=|MF2|，即動點M到定直線l1：x=-1的距離等于它到定點F2（1，0）的距離，
所以動點M的軌跡C2是以l1為準(zhǔn)線，F(xiàn)2為焦點的拋物線，
所以點M的軌跡C2的方程為y2=4x；
（3）設(shè)R（x1，y1），假設(shè)存在直線m：x=t滿足題意，則圓心，
過O1作直線x=t的垂線，垂足為E，設(shè)直線m與圓O1的一個交點為G．
可得：，
即
=
=，
當(dāng)t=3時，|EG|2=3，此時直線m被以RQ為直徑的圓O1所截得的弦長恒為定值．
因此存在直線m：x=3滿足題意．
分析：（1）根據(jù)橢圓所過點A可求得b值，再由離心率及a2=b2+c2即可求得a值，
（2）由題意可知|MP|=|MF2|，即動點M到定直線l1：x=-1的距離等于它到定點F2（1，0）的距離，從而可判斷動點M的軌跡為拋物線，進而可求得其方程；
（3）設(shè)R（x1，y1），假設(shè)存在直線m：x=t滿足題意，可表示出圓O1的方程，過O1作直線x=t的垂線，垂足為E，設(shè)直線m與圓O1的一個交點為G．利用勾股定理可用t，x1表示出|EG|2，根據(jù)表達式可求得t值滿足條件．
點評：本題考查直線與圓錐曲線的位置關(guān)系、橢圓方程的求解，考查學(xué)生對問題的探究能力解決問題的能力，（2）問的解決基礎(chǔ)是掌握拋物線的定義，（3）問探究問題的處理方法往往是先假設(shè)存在，然后由條件進行推導(dǎo)，如滿足條件即存在，否則不然．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知橢圓C1：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)過點(2，
3
)，且它的離心率e=
1
2
．直線l：y=kx+t與橢圓C1交于M、N兩點．
（Ⅰ）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（Ⅱ）當(dāng)k=
3
2
時，求證：M、N兩點的橫坐標(biāo)的平方和為定值；
（Ⅲ）若直線l與圓C2：(x-1)2+y2=1相切，橢圓上一點P滿足
OM
+
ON
=λ
OP
，求實數(shù)λ的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2013•麗水一模）已知中心在坐標(biāo)原點，焦點在x軸上的橢圓過點P（2，3），且它的離心率e=
1
2
．
（Ⅰ）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（Ⅱ）與圓（x+1）2+y2=1相切的直線l：y=kx+t交橢圓于M，N兩點，若橢圓上一點C滿足
OM
+
ON
=λ
OC
，求實數(shù)λ的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2012-2013學(xué)年江蘇省高三下學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試卷（解析版） 題型：解答題

已知橢圓過點，且它的離心率．直線

與橢圓交于、兩點．

（Ⅰ）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（Ⅱ）當(dāng)時，求證：、兩點的橫坐標(biāo)的平方和為定值；

（Ⅲ）若直線與圓相切，橢圓上一點滿足，求實數(shù)的取值范圍．

 

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2013年廣東省茂名市高考數(shù)學(xué)一模試卷（文科）（解析版） 題型：解答題

已知橢圓過點且它的離心率為．
（1）求橢圓C1的方程；
（2）設(shè)橢圓C1的左焦點為F1，右焦點為F2，直線l1過點F1且垂直于橢圓的長軸，動直線l2垂直l1于點P，線段PF2的垂直平分線交l2于點M，求點M的軌跡C2的方程；
（3）已知動直線l過點Q（4，0），交軌跡C2于R、S兩點．是否存在垂直于x軸的直線m被以RQ為直徑的圓O1所截得的弦長恒為定值？如果存在，求出m的方程；如果不存在，說明理由．

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