Question

解方程x⁴+1=0，并證明它的四個根為一個正方形的四個頂點．

Answer 1

分析：將-1寫為復數(shù)的三角形式，由方程的復數(shù)跟的表達式直接求出四個根，再由復數(shù)的幾何意義找出復數(shù)在復平面內(nèi)對應的點，進行證明即可．

解答：解：∵x⁴=-1=cosπ+isinπ，
∴x=cos

π+2kπ

4

+isin

π+2kπ

4

，k=0，1，2，3．
x₁=cos

π

4

+isin

π

4

=

2

2

+i

2

2

．
x₂=cos

3π

4

+isin

3π

4

=-

2

2

+i

2

2

．
x₃=cos

5π

4

+isin

5π

4

=-

2

2

-i

2

2

．
x₄=cos

7π

4

+isin

7π

4

=

2

2

-i

2

2

．
在復平面內(nèi)（x為實軸，y為虛軸）
分別用A、B、C、D四點來表示四個根x₁、x₂、x₃、x₄（如圖）
即A（

2

2

，

2

2

），B（-

2

2

，

2

2

），
C（-

2

2

，-

2

2

），D（

2

2

，-

2

2

）
∵A、B關(guān)于y軸對稱，A、D關(guān)于x軸對稱，∴∠A=90°，
同理，∠B=∠C=∠D=90°
且|AB|=|BC|=|CD|=|DA|=

2

．
∴ABCD是正方形，而A、B、C、D是頂點．

點評：本題考查方程的復數(shù)跟的求解、復數(shù)的三角形式、復數(shù)的幾何意義等知識，考查計算能力．