Question

（2009•黃岡模擬）已知(

x

-

1

2 4 x

) n的展開式中，前三項(xiàng)系數(shù)的絕對(duì)值依次成等差數(shù)列，則下列結(jié)論正確的是（　�。�

A．展開式中共有八項(xiàng)

B．展開式中共有四項(xiàng)為有理項(xiàng)

C．展開式中沒有常數(shù)項(xiàng)

D．展開式中共有五項(xiàng)為無理項(xiàng)

Answer 1

分析：由題意通過前三項(xiàng)系數(shù)的絕對(duì)值依次成等差數(shù)列，求出n的值，然后判斷二項(xiàng)式的項(xiàng)數(shù)，有沒有有理項(xiàng)，常數(shù)項(xiàng)，是否存在展開式中共有五項(xiàng)為無理項(xiàng)，得到結(jié)果．

解答：解：已知(

x

-

1

2 4 x

) n的展開式中，前三項(xiàng)系數(shù)的絕對(duì)值依次成等差數(shù)列，
所以

C

0 n

+

C

2 n

 2-2=2

C

1 n

×

1

2

，解得n=8，
展開式中共有九項(xiàng)，A不正確；
展開式的第k+1項(xiàng)為C^k₈（

x

）^8-k（-

1

2 4 x

）^k
=（-

1

2

）^kC^k₈•x

8-k

2

•x-

k

4

=（-1）^k•C^k₈•x

16-3k

4

．
若第k+1項(xiàng)為常數(shù)項(xiàng)，
當(dāng)且僅當(dāng)

16-3k

4

=0，即3k=16，
∵k∈Z，∴這不可能，∴展開式中沒有常數(shù)項(xiàng)．C正確；
若第k+1項(xiàng)為有理項(xiàng)，當(dāng)且僅當(dāng)

16-3k

4

為整數(shù)，
∵0≤k≤8，k∈Z，∴k=0，4，8，
即展開式中的有理項(xiàng)共有三項(xiàng)，它們是：
T₁=x⁴，T₅=

35

8

x，T₉=

1

256

x^-2．所以展開式中共有四項(xiàng)為有理項(xiàng)，不正確．
展開式中共有五項(xiàng)為無理項(xiàng)．顯然不正確．
故選C．

點(diǎn)評(píng)：本題是中檔題，考查二項(xiàng)式定理的應(yīng)用，二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)，考查計(jì)算能力，�？碱}型．