Question

已知函數(shù)f（x）=m-|x-1|-|x-2|，m∈R，且f（x+1）≥0的解集為[0，1]．
（1）求m的值；
（2）若a，b，c，x，y，z∈R，且x²+y²+z²=a²+b²+c²=m，求證：ax+by+cz≤1．

Answer 1

考點(diǎn)：不等式的證明

專(zhuān)題：高考數(shù)學(xué)專(zhuān)題

分析：第（1）問(wèn)中，分離m，由|x|+|x-1|≥1確定將m分“m＜1”與“m≥1”進(jìn)行討論；（2）中，可利用重要不等式將x²+a²與ax聯(lián)系，y²+b²與by聯(lián)系，z²+c²與cz聯(lián)系．

解答： 解：（1）由f（x+1）≥0得|x|+|x-1|≤m．
    若m＜1，∵|x|+|x-1|≥1恒成立，∴不等式|x|+|x-1|≤m的解集為∅，不合題意．
    若m≥1，①當(dāng)x＜0時(shí)，得x≥

1-m

2

，∴

1-m

2

≤x＜0；
    ②當(dāng)0≤x≤1時(shí)，得x+1-x≤m，即m≥1恒成立；
    ③當(dāng)x＞1時(shí)，得x≤

m+1

2

，∴1＜x≤

m+1

2

，
    綜上可知，不等式|x|+|x-1|≤m的解集為[

1-m

2

，

m+1

2

]．
    由題意知，原不等式的解集為[0，1]，
∴

1-m 2 =0 m+1 2 =1

 解得m=1．
   （2）證明：∵x²+a²≥2xa，y²+b²≥2yb，z²+c²≥2zc，
    以上三式相加，得x²+y²+z²+a²+b²+c²≥2xa+2yb+2zc．
    由題設(shè)及（1），知x²+y²+z²=a²+b²+c²=m=1，
∴2≥2（xa+yb+zc），即ax+by+cz≤1，得證．

點(diǎn)評(píng)：本題難度與高考相當(dāng)，第（1）問(wèn)考查了分段討論法解絕對(duì)值不等式，對(duì)參數(shù)的討論是前提；第（2）問(wèn)要求學(xué)生掌握不等式的基本性質(zhì)，關(guān)鍵是聯(lián)系第一問(wèn)求解．