Question

已知數列{a_n}中，a₁=2，a₂=4，a_n+1+2a_n-1=3a_n（n≥2）
（Ⅰ）證明：數列{a_n+1-a_n}是等比數列；
（Ⅱ）求數列{a_n}的通項公式；
（Ⅲ）設b_n=a_n-1，S_n=

a1

b1b2

+

a2

b2b3

+…+

an

bnbn+1

，求使S_n＞

1

6

（m²-3m）對所有的n∈N^*都成立的最大正整數m的值．

Answer 1

考點：數列的求和,等比關系的確定

專題：等差數列與等比數列

分析：（Ⅰ）由a_n+1+2a_n-1=3a_n（n≥2）⇒

an+1-an

an-an-1

=2（n≥2），從而可證數列{a_n+1-a_n}是等比數列；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知a_n+1-a_n=2ⁿ，利用累加法可求得a_n=2ⁿ；
（Ⅲ）利用裂項法知

an

bnbn+1

=

2n

(2n-1)(2n+1-1)

=

1

2n-1

-

1

2n+1-1

，于是可求得S_n=1

1

2n+1-1

，利用其單調性即可求得（S_n）_min=

2

3

，依題意，解相應的不等式即可求得答案．

解答： 解：（I）∵a_n+1+2a_n-1=3a_n（n≥2），
∴

an+1-an

an-an-1

=2（n≥2）…（2分）
∴{a_n+1-a_n}是公比為2的等比數列     …（3分）
（II）∵{a_n+1-a_n}是公比為2等比數列，首項為2
∴a_n+1-a_n=2ⁿ．…（5分）
∴a_n=a₁+（a₂-a₁）+…+（a_n-a_n-1）
=2+2¹+2²+…+2^n-1=2ⁿ，當n=1時，a₁=2也適合上式，
∴a_n=2ⁿ．…（7分）
（Ⅲ）∵a_n=2ⁿ，∴b_n=2ⁿ-1，
∴

an

bnbn+1

=

2n

(2n-1)(2n+1-1)

=

1

2n-1

-

1

2n+1-1

，…（9分）
∴S_n=

1

21-1

-

1

22-1

+

1

22-1

-

1

23-1

+…+

1

2n-1

-

1

2n+1-1

=1-

1

2n+1-1

…（10分）   
∴n越大，S_n越大，
∴n=1時，S_n取最小值

2

3

，…（11分）
由已知有（S_n）_min＞

1

6

（m²-3m），
∴

2

3

＞

1

6

（m²-3m），解得-1＜m＜4，…（12分）
故所求最大正整數m的值為3．…（13分）

點評：本題考查數列的求和，著重考查等比關系的確定．考查累加法與裂項法求和的應用，考查轉化思想與綜合運算能力，屬于難題．