Question

（2012•鹽城二模）在等差數(shù)列{a_n}中，a₂=5，a₆=21，記數(shù)列{

1

an

}的前n項和為S_n，若S2n+1-Sn≤

m

15

對n∈N₊恒成立，則正整數(shù)m的最小值為

5

．

Answer 1

分析：由題干中的等式變形得出數(shù)列{a_n}是首項為1，公差為4的等差數(shù)列，得出{

1

an

}的通項公式，證明數(shù)列{S_2n+1-S_n}（n∈N^*）是遞減數(shù)列，得出數(shù)列{S_2n+1-S_n}（n∈N^*）的最大項，再由S_2n+1-S_n≤

m

15

，求出正整數(shù)得m的最小值．

解答：解：在等差數(shù)列{a_n}中，∵a₂=5，a₆=21，
∴

a1+d=5 a1+5d=21

，
解得a₁=1，d=4，
∴

1

an

=

1

1+4(n-1)

=

1

4n-3

，
∵（S_2n+1-S_n）-（S_2n+3-S_n+1）
=（

1

an+1

+

1

an+2

+…+

1

a2n+1

）-（

1

an+2

+

1

an+3

+…+

1

a2n+3

）
=

1

an+1

-

1

a2n+2

-

1

a2n+3

=

1

4n+1

-

1

8n+5

-

1

8n+9

=（

1

8n+2

-

1

8n+5

）+（

1

8n+2

-

1

8n+9

）＞0，
∴數(shù)列{S_2n+1-S_n}（n∈N^*）是遞減數(shù)列，
數(shù)列{S_2n+1-S_n}（n∈N^*）的最大項為S₃-S₁=

1

5

+

1

9

=

14

45

，
∵

14

45

≤

m

15

，∴m≥

14

3

，
又∵m是正整數(shù)，
∴m的最小值為5．
故答案為：5．

點評：本題考查數(shù)列與不等式的結(jié)合問題，難度之一為結(jié)合已知和要求的式子，觀察出數(shù)列是等差或等比數(shù)列；難度之二求數(shù)列{S_2n+1-S_n}（n∈N^*）的最大值，證數(shù)列{S_2n+1-S_n}（n∈N^*）是遞減數(shù)列，證明方法：（S_2n+1-S_n）-（S_2n+3-S_n+1）＞0．是解題的關(guān)鍵．