Question

設(shè)A={a₁，a₂，…a_n}⊆M，（n∈N^*，n≥2）若其元素滿足：a₁+a₂+a₃+a₄+…+a_n=a₁×a₂×a₃×a₄×…×a_n，則稱集合A為集合M的“n元封閉集”．
（1）寫出實(shí)數(shù)集R的一個(gè)“二元封閉集”；
（2）證明：正整數(shù)集N^*上不存在“二元封閉集”；
（3）求出正整數(shù)數(shù)集N^*上的所有“三元封閉集”．

Answer 1

考點(diǎn)：集合的包含關(guān)系判斷及應(yīng)用

專題：計(jì)算題,壓軸題,集合

分析：（1）由a₁=（a₁-1）a₂推出a₂=

a1

a1-1

，從而求一個(gè)二元封閉集；
（2）假設(shè)存在，不妨設(shè)a₁＜a₂，討論a₁的取值；
（3）不妨設(shè)a₁＜a₂＜a₃；討論求出三元封閉集．

解答： 解：（1）∵a₁=（a₁-1）a₂，∴a₂=

a1

a1-1

，
令a₁=3，a₂=

3

2

．
則二元封閉集可以為{3，

3

2

}．
（2）證明：不妨設(shè)a₁＜a₂，
若a₁=1，a₁+a₂＞a₁a₂=a₂，
若a₁＞1，2≤a₁＜a₂，
a₁+a₂＜2a₂≤a₁a₂．
則正整數(shù)集N^*上不存在“二元封閉集”．
（3）不妨設(shè)a₁＜a₂＜a₃；
則由a₁+a₂+a₃=a₁a₂a₃可得，
a₁=

a2+a3

a2a3-1

，
假設(shè)a₁=1，則a₂=

a3+1

a3-1

，
則a₃=3．
此時(shí)為{1，2，3}．
若a₁=2，則a₂=

a3+2

2a3-1

=

1

2

+

5

4a3-2

，
∵a₃≥4，則a₂≤

1

2

+

5

14

，
則a₂不存在．
綜上所述，正整數(shù)數(shù)集N^*上的“三元封閉集”只有一個(gè)，{1，2，3}．

點(diǎn)評：本題考查了學(xué)生對新知識的接受能力與應(yīng)用能力，屬于難題．