長方體ABCD－A1B1C1D1中，AB＝BC＝1，AA1＝2，E是側棱BB1的中點．

(1)求證：直線AE⊥平面A1D1E；

(2)求三棱錐A－A1D1E的體積R；

(3)求二面角E－AD1－A1的平面角的余弦值．

答案：
解析：

　　解：(1)依題意：，，　　　　　　　　　　　　2分

　　則平面．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　3分

　　(2)　　　　　　3分(寫出公式得2分，計算1分)

　　(3)方法一：向量法

　　以D為原點，DA、DC、DD1分別x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標系，則A(1，0，0)，A1(1，0，2)，D1(0，0，2)，E(1，1，1)

　　∴　　　　　　　　　　　　　　　　　　5分

　　設平面AD1E的法向量為

　　，即

　　令，則　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　7分

　　又是平面AA1D的法向量，則　　　　　　　　　　　　　8分

　　，　　　　　　　　　　　　　10分

　　而二面角為銳二面角，故其余弦值為　　　　　　　12分

　　方法二：傳統(tǒng)法(供參考)

　　取的中點，連，則、，

　　所以平面．過在平面

　　中作，交于，連，則，

　　所以為二面角的平面角

　　在中，

　　所以．


練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

精英家教網在長方體ABCD-A1B1C1D1中，AB=BC=2，過A1、C1、B三點的平面截去長方體的一個角后，得到如圖所示的幾何體ABCD-A1C1D1，且這個幾何體的體積為10．
（1）求棱A1A的長；
（2）求點D到平面A1BC1的距離．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

精英家教網如圖，長方體ABCD-A1B1C1D1中，AB=A1A=a，BC=
2
a，M是AD中點，N是B1C1中點．
（1）求證：A1、M、C、N四點共面；
（2）求證：BD1⊥MCNA1；
（3）求證：平面A1MNC⊥平面A1BD1；
（4）求A1B與平面A1MCN所成的角．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

長方體ABCD-A1B1C1D1中，AB=3，BC=4，AA1=5 則三棱錐A1-ABC的體積為（　　）
A、10B、20C、30D、35

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

如圖，已知多面體ABCD-A1B1C1D1，它是由一個長方體ABCD-A'B'C'D'切割而成，這個長方體的高為b，底面是邊長為a的正方形，其中頂點A1，B1，C1，D1均為原長方體上底面A'B'C'D'各邊的中點．
（1）若多面體面對角線AC，BD交于點O，E為線段AA1的中點，求證：OE∥平面A1C1C；
（2）若a=4，b=2，求該多面體的體積；
（3）當a，b滿足什么條件時AD1⊥DB1，并證明你的結論．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

在長方體ABCD-A1B1C1D1中，AB=BC=1，AA1=2，E是側棱BB1的中點．
（1）求證：A1E⊥平面ADE；
（2）求三棱錐A1-ADE的體積．

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